Петров Ю.П. Обеспечение достоверности и надежности компьютерных расчетов

СПб.: БХВ-Петербург, 2012. — 160 с.: ил. — ISBN: 978-5-9775-0234-4.В книге дан анализ ошибок и неточностей, недавно обнаруженных в традиционных методах расчета и популярных пакетах прикладных программ (MatLAB, Mathcad и др.), и их связь с открытыми в Санкт-Петербургском государственном университете (СПбГУ) новыми свойствами эквивалентных (равносильных) преобразований. Эти ошибки и неточности расчетов являются причиной многих аварий и катастроф. В книге изложены пути совершенствования методов расчета и вычислительных алгоритмов для обеспечения достоверности результатов расчета, приведены многочисленные примеры.
Учебное пособие написано на основе лекций, прочитанных автором в СПбГУ на факультете прикладной математики - процессов управления.
Для студентов, аспирантов и пользователей компьютеров, выполняющих расчеты.ПредисловиеПростые примеры и первые выводыПервый пример
Пример системы дифференциальных уравнений, не имеющей непрерывной зависимости решений от параметров
Пример решения технической задачи проверки устойчивости
ВыводыКорректность решений и традиционные методы ее проверкиВариации коэффициентов и параметров
Вариации решений. Корректные и некорректные решения
Традиционные методы проверки корректности. Ошибки и заблуждения
ПримерыЭквивалентные (равносильные) преобразования и их недавно обнаруженные новые свойстваПреобразования, эквивалентные в классическом смысле
Преобразования, связанные с дифференцированием
Неожиданно обнаруженные изменения корректности решений при эквивалентных преобразованиях
Изменения обусловленности решений систем линейных алгебраических уравнений при эквивалентных преобразованиях
Оценка погрешностей вычисления определителей и решений систем алгебраических уравненийВыявленные недостатки в традиционных методах вычислений и пути их исправленияНедостатки традиционных методов расчета параметрической устойчивости линейных систем
Причины потери параметрической устойчивости и связанных с нею аварий
Методы обеспечения надежности расчетов устойчивости линейных систем управления Недостатки традиционных методов расчета устойчивости нелинейных систем. Существование функции Ляпунова не гарантирует устойчивости
Неточности в расчетах устойчивости по части переменных
Неточности в теории дифференциальных уравнений
Другие вычислительные алгоритмы
Синтез оптимальных систем управления
Интегральные уравнения
Алгоритмы, использующие цепочки эквивалентных преобразований
Ошибки, обнаружившиеся в популярных пакетах прикладных программ, и методы предотвращения ошибок при расчетах
Ошибки в программах численного решения обыкновенных дифференциальных уравнений
Ошибки в программах расчета устойчивостиБолее сложные примеры обеспечения надежности вычисленийСвязь между вариациями параметров объекта и вариациями коэффициентов его математической модели
Возможность проверки корректности по коэффициентам математической модели
Аварии и катастрофы, связанные с несовершенством методов компьютерных вычислений. Их особенности
Объяснение трудностей выявления новых свойств эквивалентных преобразований и существования "особых" систем
Необходимость исследования "триад"
Примеры различных "триад" и "диад"
Первая триада: проверка устойчивости
Вторая триада: проверка устойчивости другим методом
Третья триада: использование функций Ляпунова
Четвертая триада: вычисление собственных значений
Пятая триада: численное решение систем дифференциальных уравнений
Шестая триада: решение с дополнительными проверками
Седьмая триада: дифференциальные уравнения, частные случаи
Восьмая триада: интегральные уравнения
Первая диада: вещественные корни полиномов
Вторая диада: комплексные корни полиномов
Третья диада: задача на максимум и минимумПримеры и задачиПримеры проверки надежности результатов вычисления решений систем уравнений
Математическая модель особого объекта
Проверка устойчивости
Проверка устойчивости невырожденной системы
Вычисление решений системы дифференциальных уравнений
Дополнительные проверки, восстанавливающие надежность и достоверность компьютерных вычислений
Возможное изменение знака коэффициентов при младших членах характеристического полинома
Система из трех дифференциальных уравнений с тремя переменнымиПримеры обеспечения надежности расчета технических объектовОптимальное управление судами
Расчет строительных конструкций
Вычисление частот малых колебаний
Строительная механикаЗадачиЗаключениеПриложение. Анализ катастроф, причины которых связаны с неточностями методов проектирования и расчета
Примечания
Примечание 1 (к стр. 44)
Примечание 2 (к стр. 146)
Литература
Предметный указатель