Лекции по математическому анализу

ДВГУПС, Хабаровск, Каширин А.А., 2010 г., 120 стр.Введение.
Множества. Действительные числа.
Множества. Операции над множествами.
Логические символы.
Действительные числа. Свойства действительных чисел.
Числовые множества. Мощность множеств.
Расширенная числовая прямая.
Промежутки действительных чисел.
Конечные и бесконечные множества. Эквивалентные множества. Мощность.
Теорема Кантора.
Верхняя и нижняя грани множества.
Ограниченные и неограниченные множества.
Верхняя и нижняя грани числовых множеств.
Предел последовательности.
Последовательность. Предел последовательности.
Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности.
Теорема о единственности предела последовательности.
Предельный переход в неравенствах.
Свойства пределов последовательностей.
Леммы о бесконечно малых величинах.
Арифметические действия над последовательностями.
Неопределённые выражения.
Предел монотонной ограниченной последовательности.
Предел монотонной ограниченной последовательности.
Лемма о вложенных отрезках.
Критерий сходимости последовательности.
Критерий сходимости Больцано–Коши.
Число "e".
Подпоследовательности.
Определение подпоследовательности.
Теорема Больцано–Вейерштрасса.
Наибольший и наименьший пределы.
Функции.
Понятие функции.
Способы задания функции.
Элементарные функции.
Предел функции по Гейне.
Первое определение предела функции.
Предел функции по подмножеству.
Непрерывные функции.
Критерий существования предела функции в точке.
Непрерывные функции.
Предел функции по Коши.
Второе определение предела функции.
Эквивалентность двух определений предела функции.
Односторонние пределы и односторонняя непрерывность.
Свойства пределов функций.
Бесконечно малые и бесконечно большие функции.
Определение бесконечно малых и бесконечно больших функций.
Взаимосвязь между бесконечно малыми и бесконечно большими функциями.
Классификация бесконечно малых и бесконечно больших функций.
Классификация бесконечно малых функций.
Классификация бесконечно больших функций.
Точки непрерывности и точки разрыва функции.
Ещё одна форма записи непрерывности функции в точке.
Точки разрыва функции и их классификация.
Критерии существования предела функции.
Существование предела монотонной функции.
Критерий Коши существования предела функции.
Предел и непрерывность композиции функций.
Свойства функций, непрерывных на отрезке.
Ограниченность непрерывных на отрезке функций.
Промежуточные значения непрерывных на отрезке функций.
Свойства функций, непрерывных на отрезке (окончание).
Обратные функции.
Равномерная непрерывность.
Производная и дифференциал.
Определение производной функции.
Определение дифференциала функции.
Связь между дифференцируемостью и существованием производной функции.
Связь между дифференцируемостью и непрерывностью функции в точке.
Геометрический и физический смысл производной и дифференциала.
Геометрический смысл производной и дифференциала.
Физический смысл производной и дифференциала.
Правила вычисления производных.
Правила вычисления производных, связанные с арифметическими действиями над функциями.
Производная обратной функции.
Производная и дифференциал сложной функции.
Условие существования производственной сложной функции.
Инвариантность формы первого дифференциала функции.
Вычисление производных сложных функций.
Гиперболические функции и их производные.
Производные высших порядков.
Определение производных высших порядков.
Производные высших порядков суммы и произведения функций.
Производные высших порядков от сложных функций.
Производные и дифференциалы высших порядков.
Производные высших порядков от обратных функций и от функций, заданных параметрически.
Дифференциалы высших порядков.
Теоремы о среднем для дифференцируемых функций.
Теорема Ферма.
Теорема Ролля.
Теоремы о среднем для дифференцируемых функций (окончание).
Теорема Лагранжа.
Теорема Коши.
Правила Лопиталя.
О правилах Лопиталя.
Неопределённости вида.
Неопределённости вида.
Формула Тейлора.
Формула Тейлора (окончание).
Многочлен Тейлора как многочлен наилучшего приближения функции в окрестности данной точки.
Разложение основных элементарных функций по формуле Маклорена.
Вычисление пределов с помощью формулы Тейлора (метод выделения главной части).
Исследование поведения функций.
Признак монотонности функции.
Отыскание наибольших и наименьших значений функции.
Исследование поведения функций (окончание).
Общая схема построения графиков функций.
Асимптоты.
Построение графиков функций.
Определение и свойства неопределённого интеграла.
Первообразная и неопределённый интеграл.
Основные свойства интеграла.
Табличные интегралы.
Нахождение неопределённых интегралов.
Интегрирование подстановкой.
Интегрирование по частям.
Интегрирование рациональных функций.
Интегрирование трансцендентных функций.
Заключение.
Библиографический список.