Клейн Ф. Неевклидова геометрия

Ленинград: ОНТИ - НКТП СССР, 1936. — 356 с.Книга известного немецкого математика Ф. Клейна (1849-1925). Подробно изложены основы проективной геометрии и теория проективных преобразований, необходимые для понимания дальнейших разделов книги. Далее показано, каким образом в проективную геометрию могут быть внесены понятия евклидовой геометрии; описываются соотношения, связывающие эллиптическую и гиперболическую геометрии с евклидовой геометрией; изучаются свойства неевклидовых геометрий. Для студентов-математиков, а также аспирантов и специалистов.Когда Ф. Клейн задумал опубликовать важнейшие из своих автографированных лекций, он решил начать с неевклидовой геометрии и с помощью молодого геометра д-ра Роземана предварительно подвергнуть старый текст основательной переработке в целом и в деталях. Эта работа оказалась много продолжительней, чем ожидалось сначала. Самому Клейну уже не довелось дожить до её окончания. Правда, он в ежедневных, более года продолжавшихся совещаниях со своим молодым сотрудником продумал, пересмотрел и привел в порядок весь материал вплоть до мельчайших подробностей; но самую разработку текста он должен был предоставить д-ру Роземану. К моменту смерти Клейна первые главы книги были уже в гранках, все же потребовалась многолетняя и самоотверженная работа со стороны д-ра Роземана для того, чтобы на основе первоначальной программы подготовить к печати рукопись и провести её через печать. Поэтому в этой книге участие и заслуги, а также и ответственность д-ра Роземана должнв оцениваться гораздо выше, чем это обычно делается по отношению к сотрудникам.
Наряду с д-ром Зейфартом, который тонким пониманием прочитал рукопись и корректуру, надлежит принести особую благодарность проф. Гопфу за окончательную отделку книги; он не только помогал своими критическими замечаниями при просмотре значительной части рукописи и корректур, но даже взял на себя окончательную разработку некоторый важных отделов, близких к его области работы. Далее, проф. Салковский любезно согласился прочитать большую часть последней корректуры. Наконец, нельзя не поблагодарить издательство, терпение и предупредительность которого существенно помогли преодолеть все возникшие трудности.
Геттинген, октябрь 1927 г. Издатель.Предисловие.
Введение в проективную геометрию.
Основы проективной геометрии.
Аффинные, однородные и проективные координаты.
Соотношения связности проективных образов; односторонность проективной плоскости.
Линейные однородные подстановки.
Проективные преобразования.
n-мерные многообразия.
Проективные координаты прямой и проективные координаты плоскости: принцип двойственности.
Двойные отношения.
Мнимые элементы.
Образы второй степени.
Полярные преобразования относительно образов второго порядка и класса.
Соответствие между невырождающимися образами второго порядка и второго класса.
Классификация образов второго порядка.
Классификация образов второго класса; связь с классификацией образов второго порядка.
Прямые линии на невырождающихся поверхностях второго порядка.
Превращения образов второй степени при непрерывном изменении коэффициентов; классификация этих образов.
Проективные преобразования, переводящие образ второй степени самого в себя.
Одномерный случай.
Двумерный случай.
Трёхмерный случай.
Проективное мероопределение.
Внесение евклидовой метрики в проективную систему.
Основные метрические формулы евклидовой геометрии.
Исследование метрических формул; две круговые точки и шаровой круг.
Евклидова метрика как проективное отношение к фундаментальным образам.
Замена круговых точек и шарового круга действительными образами.
Метрика в связке прямых и в связке плоскостей; сферическая и эллиптическая геометрии.
Введение проективных координат, независимое от евклидовой геометрии.
Построение четвёртых гармонических элементов.
Введение координат в одномерной области.
Введение координат на плоскость и в пространстве.
Проективные мероопределения.
Невырождающиеся мероопределения.
Вырождающиеся мероопределения.
Двойственность.
Твёрдые преобразования.
Соотношения между эллиптической, евклидовой и гиперболической геометриями.
Особое положение трёх геометрий.
Превращение эллиптической геометрии в евклидову и далее в гиперболическую геометрию.
Истолкование эллиптической и гиперболической геометрий как геометрий на евклидовой сфере действительного и мнимого радиусов.
Вывод формул эллиптической и гиперболической геометрий из формул геометрии на евклидовой сфере.
Сумма углов треугольника и его площадь.
Евклидова и обе неевклидовы геометрии как системы мероопределений, применимых к внешнему миру.
Специальное исследование обеих неевклидовых геометрий.
Эллиптическая и гиперболическая геометрии на прямой линии.
Эллиптическая геометрия плоскости.
Гиперболическая геометрия плоскости.
Теория кривых второй степени в плоской неевклидовой геометрии.
Эллиптическая геометрия пространства.
Клиффордовы поверхности.
Гиперболическая геометрия пространства.
Проблема пространственных форм.
Пространственные формы плоской евклидовой геометрии.
Пространственные формы плоских эллиптической и гиперболической геометрий.
Пространственные формы трёхмерных геометрий.
Отношения неевклидовой геометрии к другим областям.
История неевклидовой геометрии; отношения к аксиоматике и к дифференциальной геометрии.
"Начала" Евклида и попытки доказательства аксиомы о параллельных.
Аксиоматическое обоснование гиперболической геометрии.
Основы теории поверхностей.
Связь плоской неевклидовой геометрии с теорией поверхностей.
Расширение дифференциально-геометрической точки зрения, произведённое Риманом.
Конформные отображения неевклидовой плоскости.
Внедрение проективной геометрии.
Дальнейшее построение неевклидовой геометрии, в частности дифференциальной геометрии.
Обзор применений неевклидовой геометрии.
Гиперболические движения пространства и плоскости и линейные подстановки комплексного переменного.
О применениях пространственной гиперболической геометрии к теории линейных подстановок.
Замечания о применении неевклидова мероопределения в топологии.
Приложения проективного мероопределения в специальной теории относительности.
Предметный указатель.