Рейзлин В.И., Быков С.Ф. Математические методы проектирования

Учебное пособие. — Томск: Национальный исследовательский Томский политехнический университет, 2010. — 144 с.В учебном пособии изложены основы численных методов решения краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных, а также некоторые вопросы функционального анализа.
Пособие предназначено для магистрантов, обучающихся по магистерским программам по специальностям 230100.08 «Информационное и программное обеспечение автоматизированных систем» и 230100.22 «Распределенные автоматизированные системы».
Пособие может быть полезно студентам и аспирантам, применяющим в своей научной и учебной работе численные методы.Введение.
Решение краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений и систем.
Метод стрельбы.
Метод конечных разностей, или метод сеток.
Полуаналитические методы решения краевой задачи.
Метод коллокации.
Метод Галеркина.
Численное решение уравнений в частных производных.
Разностные схемы. Основные понятия.
Сходимость, аппроксимация и устойчивость разностных схем.
Разностные схемы для уравнений параболического типа.
Решение задачи Коши.
Устойчивость двухслойных разностных схем.
Разностные схемы для уравнений эллиптического типа.
Построение разностной аппроксимации для уравнения Пуассона.
Различные краевые задачи и аппроксимация граничных условий.
Построение разностной схемы в случае задачи Дирихле для уравнения Пуассона.
Метод матричной прогонки.
Итерационный метод решения разностной схемы для задачи Дирихле.
Разностные схемы для уравнений гиперболического типа.
Решение задачи Коши.
Решение смешанной задачи.
Метод конечных элементов (МКЭ).
Общие понятия.
Дискретизация области и нумерация узлов.
Линейные интерполяционные полиномы.
Одномерный симплекс-элемент.
Двумерный симплекс-элемент.
Местная система координат.
Двумерные L-координаты.
Объединение элементов в ансамбль.
Вывод уравнений для элементов с помощью метода Галеркина.
Пример. Расчет одномерного температурного поля в однородном стержне.
Двумерные уравнения теории поля.
Приложение. Элементы функционального анализа.
Отображения.
Векторное пространство.
Базис векторного пространства.
Координатные отображения.
Метрика и норма.
Банаховы пространства.
Гильбертово пространство.
Ортогональность и ряд Фурье.
Базис гильбертова пространства.
Линейные операторы.
Матрица линейного оператора.
Метод последовательных приближений.
Спектральный радиус оператора.
Список литературы.