Прахар К. Распределение простых чисел

М.: Мир, 1967. – 512 с.Монография известного специалиста в области теории чисел К. Прахара подводит итог многолетним исследованиям по распределению простых чисел. В русской литературе немного книг по теории чисел, а по теме монографии имеется лишь небольшая книга Ингама, переведенная в начале 30-х годов. Настоящее издание книги К. Прахара содержит два добавления, в которых содержится обзор результатов по распределению простых чисел, полученных после выхода в свет немецкого издания. Книга будет полезна и интересна математикам различных специальностей, начиная со студентов университетов и пединститутов.От издательства
Предисловие
Введение
Элементарные результаты
Некоторые свойства простых чисел
Простейшие оценки π(х)
Истинный порядок π(х)
Суммы и произведения по простым числам
Различные применения
Задачи к главе I
Методы решета
Обозначения
μ-Функция Мебиуса
Метод решета А. Сельберга
Примеры на метод решета
Задачи к главе II
Теорема о простых числах
Введение
ξ-функция Римана
Связь между- ξ '/ ξ и ψ(х)
О нулях ξ (s)
Дальнейшие применения метода комплексного интегрирования
Элементарное доказательство теоремы о простых числах
Задачи к главе III
Простые числа в арифметической прогрессии
Введение
Характеры
L-Функции и теорема Дирихле
Необращение в нуль L(1 + it, χ)
О нулях L-функции вблизи прямой σ= 1
Действительные нули L-функций с действительными характерами. Примитивные характеры
Число простых чисел в арифметической прогрессии
Теорема Зигеля
Задачи к главе IV
Различные применения
Введение
О простых числах в арифметической прогрессии
О числах вида р_i+p_s
Разность между соседними простыми числами
Большие приращения соседних простых чисел
Цепочки больших приращений последовательных простых чисел
О числе делителей чисел вида р-1
Теорема Романова
Задачи к главе V
Проблема Гольдбаха
Введение
Введение тригонометрических сумм
Формулы приближения (дроби с малыми знаменателями)
Разбиение области интегрирования
Главный член проблемы
Остаточный член проблемы
О представлении четных чисел в виде суммы двух простых чисел
Задачи к главе VI
Теоретико-функциональные свойства L-функций. Явные формулы
Функциональное уравнение
Разложение частного L′/ L (s, χ)
Дальнейшие сведения о нулях функции L (s, χ)
Явные формулы
Гипотеза Римана и ее следствия
Другая явная формула
О наименьшем простом числе в арифметической прогрессии
Нерегулярность в распределении простых чисел
Задачи к главе VII
Тригонометрические суммы
Введение
Метод Вейля
Применение к оценке ξ (s, ω)
Метод И.М. Виноградова
Применение к оценке ξ (s, ω)
Следствия для нулей L (s, χ)
Теоремы о плотности нулей L-функций и их применения в теории простых чисел
Вертикальное распределение нулей
Распределение простых чисел в "коротких" арифметических прогрессиях
О разности между последовательными простыми числами
Более точные оценки для ξ (1/2+ it, ω)
Задачи к главе IХ
Наименьшее простое число в арифметической прогрессии
Введение
Плотность нулей L-функций в окрестности точки s= 1
Влияние исключительного нуля на остальные нули
Доказательство теоремы Линника
Задачи к главе Х
Приложения
Частное суммирование и аналогичные преобразования
Некоторые свойства рядов Дирихле
Некоторые формулы обращения
Некоторые вспомогательные теоретико-функциональные теоремы
Целые функции конечного порядка
Г-функция
Теорема Фрагмена - Линделёфа
Теорема Литлвуда
Некоторые теоремы выпуклости
Аппроксимационная теорема Дирихле
Почленное интегрирование рядов
Некоторые неравенства
Добавление I. Большое решето. М. Б. Барбан, А. И. Bиноградов
Добавление II. О методе тригонометрических сумм. Н. М. Коробов