Шафаревич И.Р., Ремизов А.О. Линейная алгебра и геометрия

М.: Физматлит, 2009. — 512 с. — ISBN: 978-5-9221-1139-3.Книга представляет собой курс линейной алгебры и геометрии, основанный на лекциях, которые на протяжении многих лет читались одним из авторов на механико-математическом факультете Московского государственного университета. Изложение предмета начинается с теории линейных уравнений и матриц и далее ведется на языке векторных пространств. В книге также изложена теория аффинных и проективных пространств. Кроме того, включены некоторые темы, естественно примыкающие к линейной алгебре, но обычно в таких курсах не рассматриваемые: внешние алгебры, геометрия Лобачевского, топологические свойства проективных пространств, теория квадрик в многомерных аффинных и проективных пространствах, разложения конечных абелевых групп и конечнопорожденных периодических модулей (аналогичные теореме о жордановой нормальной форме линейного преобразования). Изложение сопровождается примерами, иллюстрирующими применение изучаемой теории. Рассматриваются ее связи с другими разделами математики, включая теорию дифференциальных уравнений, дифференциальную геометрию и механику.
Книга рассчитана на студентов и преподавателей математических и физико-математических специальностей.Предисловие
Предварительные сведения
Множества и отображения
Некоторые топологические понятияЛинейные уравнения
Линейные уравнения и функции
Метод Гаусса
ПримерыМатрицы и определители
Определители второго и третьего порядков
Определители произвольного порядка
Характеристика определителя его свойствами
Разложение определителя по столбцу
Правило Крамера
Перестановки, симметрические и антисимметрические функции
Полное развертывание определителя
Ранг матрицы
Операции над матрицами
Обратная матрицаВекторные пространства
Определение векторного пространства
Размерность и базис
Линейные преобразования векторных пространств
Замена координат
Изоморфизм векторных пространств
Ранг линейного преобразования
Сопряженное пространство
Формы и многочлены от векторовЛинейные преобразования пространства в себя
Собственные векторы и инвариантные подпространства
Комплексные и вещественные пространства
Комплексификация
Ориентация вещественного пространстваЖорданова нормальная форма
Корневые векторы и циклические подпространства
Жорданова нормальная форма (разложение)
Жорданова нормальная форма (единственность)
Вещественные векторные пространства
ПриложенияКвадратичные и билинейные формы
Основные определения
Приведение к каноническому виду
Комплексные, вещественные и эрмитовы формыЕвклидовы пространства
Определение евклидова пространства
Ортогональные преобразования
Ориентация евклидова пространства
Примеры
Симметрические преобразования
Приложения к механике и геометрии
Псевдоевклидовы пространства
Лоренцевы преобразованияАффинные пространства
Определение аффинного пространства
Аффинные подпространства
Аффинные преобразования
Евклидовы аффинные пространства и движенияПроективные пространства
Определение проективного пространства
Проективные преобразования
Двойное отношение
Топологические свойства проективных пространствВнешнее произведение и внешняя алгебра
Плюккеровы координаты подпространства
Соотношения Плюккера и грассманианы
Внешнее произведение векторов
Внешняя алгебра
ПриложенияКвадрики
Квадрики в проективном пространстве
Квадрики в комплексном проективном пространстве
Изотропные подпространства
Квадрики в вещественном проективном пространстве
Квадрики в вещественном аффинном пространстве
Квадрики в аффинном евклидовом пространстве
Квадрики на вещественной плоскостиГеометрия Лобачевского
Пространство Лобачевского
Аксиомы геометрии на плоскости
Некоторые формулы геометрии ЛобачевскогоГруппы, кольца, модули
Группы и гомоморфизмы
Разложение конечных абелевых групп
Единственность разложения
Конечнопорожденные периодические модули над евклидовым кольцомЭлементы теории представлений
Основные понятия теории представлений
Представления конечных групп
Неприводимые представления
Представления коммутативных группИсторическая справка
Список литературы
Предметный указатель