Алгазин С.Д. Численные алгоритмы без насыщения в классических задачах математической физики

М.: Агентство Интеллектуальной Собственности на транспорте, 2016. — 390 с. — ISBN: 978-5904640-13-2.В книге рассматривается новый подход к конструированию алгоритмов математической физики. В основном рассматриваются спектральные задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений, уравнения Лапласа (три краевых задачи) и бигармонического уравнения (две краевые задачи).
Классический подход, основанный на применении методов конечных разностей и конечных элементов, обладает существенными недостатками - он не реагирует на гладкость отыскиваемого решения. Для разностной схемы р-го порядка в независимости от гладкости отыскиваемого решения погрешность метода - 0(hp). Гладкость решения определяется входными данными задачи. Рассматриваемые в книге алгоритмы свободны от этих недостатков. Предлагаемые алгоритмы автоматически настраиваются на гладкость отыскиваемого решения и их точность тем выше, чем большим условиям гладкости отвечает отыскиваемое решение. Для рассматриваемых задач на собственные значения для обыкновенных дифференциальных уравнений экспериментально показано, что убывание погрешности - экспоненциально. Этого невозможно добиться методами конечных разностей и конечных элементов.
Для двумерных задач громоздкие вычисления затабулированы в таблицах небольшого объёма, что позволяет разработать компактные алгоритмы решения поставленных задач.
Монография представляет интерес для студентов и аспирантов физико- технических и математических специальностей, специалистов по численным методам, а также для научных сотрудников и инженеров, интересующихся новыми методами численного решения задач математической физики.Предисловие к третьему изданию.
Со времени выхода в свет первого издания этой книги в 2002 году в издательстве «Научный Мир» прошло 14 лет. Второе издание книги вы-шло в 2010 году в издательстве «Диалог-МИФИ» под другим названием: «Численные алгоритмы классической математической физики». У автора опубликовано много новых результатов по численным методам без насыщения в классических задачах математической физики. Эти результаты публиковались автором в препринтах Института проблем механики им. А. Ю. Ишлинского и в разных российских журналах. Публикация в препринтах началась в 2000 году. В настоящее время выпущено 46 препринтов. Список препринтов с аннотациями приведён в конце книги. В книгу включены наиболее важные из этих результатов. По сравнению с предыдущим изданием, книга существенно переработана. Исключены приложения, содержащие программы решения задач на собственные значения для операторов Лапласа и Бигармонического. Теперь эти программы доступны в Российском Фонде алгоритмов и программ. Добавлены две новые главы: Глава 9 «О спектре Коссера первой краевой задачи теории упругости» и Глава 10 «О спетральной задаче для оператора Орра-Зоммерфельда».
Главы 1, 5 и 6 не перерабатывались. Остальные главы подверглись в той или иной степени переработке. В результате объём книги вырос примерно на 240 страниц.
Автор, 21 ноября 2015 гС. Д. Алгазин
Foreword
Предисловие к третьему изданию
Предисловие
Введение
Литература
Формальное описание алгоритмов и оценка погрешности
Формализация
Теорема
Теоремы локализации
Теорема
Теорема
Априорная оценка погрешности в задачах на собственные значения
Теорема
Апостериорная оценка погрешности в задачах на собственные значения
Обобщения для пучка операторов
Теорема
Теорема
Литература
Обыкновенные дифференциальные уравнения
Введение
Дискретизация классических спектральных задач для обыкновенных дифференциальных уравнений
Экспериментальное исследование скорости сходимости
Вычисление с высокой точностью собственных значений для уравнения Бесселя
Вычисление функций Бесселя целого индекса
Литература
Гармоническая проблема
Введение
Интерполяционная формула для функции двух переменных в круге и ее свойства
Теорема
Дискретизация оператора Лапласа
Теоремы об h-матрице
Теорема
Теорема
Построение клеток h-матрицы с использованием дискретизации уравнений Бесселя
Описание численных экспериментов
Быстрое умножение h-матрицы на вектор с использованием быстрого преобразования Фурье
Симметризация h-матрицы
Теорема
Пример оценки погрешности для задачи Дирихле
Смешанная задача
Задача Неймана
Высокоточные вычисления собственных значений задачи Дирихле
Примеры численных расчетов
Обсуждение полученных результатов
Обсуждение полученных результатов
Применение регулярной теории возмущений
О вычислении собственных значений оператора Лапласа в двусвязной области
Постановка задачи и дискретизация
Результаты численных расчетов
О вычислении собственных значений уравнения переноса
Постановка задачи фильтрации газа в пористой среде
Дискретизация по пространственным переменным
Результаты численных экспериментов
Вычисление собственных значений оператора Лапласа в многоугольной области
Отображение Шварца-Кристоффеля
Результаты расчётов
Выводы
Расчеты на другой сетке для задачи Дирихле
Задача Стеклова
Бигармоническая проблема
Постановка задачи и дискретизация
Вычисление матрицы конечномерной задачи
Исследование структуры конечномерной задачи
Численное решение основной бигармонической проблемы
Вторая краевая задача плоской теории упругости
Результаты расчетов
Выводы
Примеры численных расчетов
Описание дальнейших вычислительных экспериментов
Продолжение численных экспериментов
Колебания пластины переменной толщины со сводными краями произвольной формы в плане
Вывод уравнения поперечных колебаний упругой изотропной пластины переменной толщины и граничных условий
Дискретизация
Методические эксперименты
Сравнение с результатами работы "Круги в песке: методы для воспроизведения фигур Хладни"
Сравнение с результатами работы [7]
Сравнение с результатами работы [8]
Сравнение с результатами работы [4]
Сравнение с результатами работы [15]
Выводы
Литература
Флаттер пластин и пологих оболочек
О постановке задачи панельного флаттера с использованием теории плоских сечений А. А. Ильюшина
Флаттер пластины
Флаттер пластины произвольной формы в плане
Дискретизация
Численное исследование спектральной задачи
Результаты численных расчетов
Исследование зависимости критической скорости флаттера от толщины пластины
Флаттер прямоугольной пластины
Постановка задачи
Дискретизация
Результаты численных расчетов
Метод Бубнова – Галеркина (Б.-Г.)
Сравнение с результатами А. А. Мовчана
Исследование зависимости критической скорости флаттера от толщины пластины
Исследование зависимости критической скорости флаттера от высоты над уровнем моря
Флаттер пологих оболочек
Флаттер круговой в плане пологой сферической оболочки
Постановка задачи и численный алгоритм
Вычислительные эксперименты
Выводы
Численное исследование флаттера пологой оболочки
Постановка задачи
Дискретизация
Результаты численных расчетов
Выводы
Литература
Дискретизация линейных уравнений математической физики с разделяющимися переменными
Уравнения общего вида с разделяющимися переменными
Дальнейшие обобщения
Дискретизация оператора Лапласа и быстрое решение уравнения Пуассона в торе
Постановка задачи и дискретизация
Быстрое решение дискретного уравнения Пуассона
Заключение
Дискретизация оператора Лапласа и быстрое решение уравнения Пуассона для внешности тела вращения
Численное исследование задачи об обтекании под углом атаки тела вращения потенциальным потоком идеальной несжимаемой жидкости
Численное исследование уравнений Стокса
Постановка задачи и выбор системы координат
Дискретный лапласиан и дискретные уравнения Стокса
Определение давления
Результаты численных экспериментов
Об уравнении Пуассона в цилиндре
Введение
Постановка задачи и дискретизация
Исследование структуры конечномерной задачи
Обсуждение методики и численный пример
О прогнозировании динамики ядерного реактора
Математическая постановка задачи
Дискретизация Лапласиана
Дискретизация по пространственным переменным и оценка погрешности
Литература
Нестационарные задачи
Постановка задачи
Дискретизация
Численный пример
Численное исследование однофазной фильтрации газа в пористой среде
Постановка задачи фильтрации газа в пористой среде
Дискретизация по пространственным переменным
Дискретизация по времени
Моделирование скважин (точечных источников)
Вычислительные эксперименты
Многослойный, неявный, параллельный алгоритм для уравнения теплопроводности в параллелепипеде
Постановка задачи
Дискретизация
Вычислительные эксперименты
Устойчивость
Примечание
Литература
Уравнения Стокса и Навье – Стокса
Введение
Постановка задачи
Дискретный лапласиан
Результаты расчетов для уравнений Навье – Стокса
Прямое решение полностью нелинейных уравнений Навье – Стокса
Выводы
Литература
О спектре Коссера первой краевой задачи теории упругости
Исследования Эжена и Франсуа Коссера (1898 - 1901)
Первая краевая задача для конечной области
Дискретизация
Исходная система
Результаты численных расчётов
О спектральной задаче для оператора Орра-Зоммерфеьда
Введение
Теорема Сквайера
Уравнения Орра-Зоммерфельда и Рэлея. Таким образом, дальше будем рассматривать плоские возмущения. Система (10.6) принимает вид
Численный алгоритм без насыщения для уравнения Орра-Зоммерфельда
Дискретизация
Уравнение Орро-Зоммерфельда. Формулы для программирования
Формулы для вычисления интегралов
Рекуррентные формулы для вычисления интегралов
Вычисление интегралов
Результаты численных расчётов
Литература
Приложение 1. Работы Э. и Ф. Коссера (1898 – 1901) в переводе автора с французского языка
Список препринтов автора, которые содержат программы для описанных в книге алгоритмов.