Назимов А.Б., Мухамадиев Э.М., Морозов В.А. Классический и регуляризованный операторы Пуассона в пространствах непрерывных и ограниченных функций

Монография. — Вологодский гос. технический ун-т. — Вологда : Вологодский гос. технический ун-т, 2010. — 147 с. — ISBN: 978-5-87851-394-4.При изучении стационарных процессов различной физической природы (колебания, теплопроводность, диффузия и др.) обычно приходят к уравнениям эллиптического типа. Наиболее распространенным уравнением этого типа является уравнение Лапласа ∆ = u 0.
Функция u называется гармонической в области G , если она непрерывна в этой области вместе со своими производными до второго порядка и удовлетворяет уравнению Лапласа.
При изучении свойств гармонических функций были разработаны различные математические методы, оказавшиеся плодотворными и в применении к уравнениям гиперболического и параболического типов.
Наиболее общим методом исследования двумерных задач для уравнения Лапласа является метод, использующий теорию функций комплексной переменной. Здесь наибольший интерес представляют аналитические функции. Необходимыми и достаточными условиями аналитичности функции являются условия Коши – Римана. Действительная и мнимая части аналитической в некоторой области функции удовлетворяют уравнению ЛапласаВведение
Основные результаты
Граничные значения гармонических функций
Гладкость и предельные значения интегрального оператора K
Непрерывность, вполне непрерывность, норма и спектральный радиус интегральных операторов
Равностепенная непрерывность семейств функций
Однозначная разрешимость системы интегральных уравнений в пространстве непрерывных функций
Слабая непрерывность интегрального оператора K в пространстве ограниченных измеримых функций
Граничные значения интеграла Пуассона с плотностью из пространства ограниченных измеримых функций
Доказательства теорем
Точки Лебега
Граничные значения ограниченных гармонических функций
Регуляризатор и его граничное значение
Регуляризованный оператор Пуассона и его граничное значение
Вычисление норм граничного оператора, порожденного регуляризованным оператором
Решение задачи Дирихле с помощью регуляризованного оператора Пуассона
Представление решения задачи Дирихле с помощью регуляризованного оператора Пуассона
Библиографический список