Корпусов М.О., Панин А.А. Лекции по линейному и нелинейному функциональному анализу. Том 1. Общая теория. Часть 1. Лекции

М.: Физический факультет МГУ, 2016. — 244 с.Настоящее учебное пособие посвящено изложению основ функционального анализа для студентов–математиков кафедры математики физического факультета МГУ. В первом томе «Общая теория» подробно разбираются основы элементарной и абстрактной теории меры Лебега согласно подходу А. Н. Колмогорова. После этого мы рассматриваем теорию интеграла Лебега и пространств Лебега. Подробно изложены такие вопросы линейного функционального анализа, как метрические пространства, топологические и векторные топологические пространства с рассмотрением сильной, слабой и ∗ -слабой топологий и теории направленностей. Затем рассмотрены основы теории банаховых пространств с доказательством трех основных принципов функционального анализа — теорем Хана–Банаха, Банаха–Штейнгауза и теоремы об открытом отображении. При этом мы особо рассматриваем сильную, слабую и ∗ -слабую сходимости в банаховых пространствах. Подробно изложена теория транспонированных операторов, действующих в банаховых пространствах. На основе интеграла Данфорда мы рассматриваем спектральное исчисление в банаховых пространствах. Излагаются основы теории гильбертовых пространств и теория самосопряженных операторов. Наконец, мы рассматриваем основы теории компактности в метрических пространствах с доказательством теорем Арцела и Пеано.
Книга состоит из основных лекций, в которых излагаются базовые сведения, и из семинаров–лекций, в которых помимо большого количества примеров, иллюстрирующих основные свойства объектов, введенных в лекциях, рассматриваются также тонкие вопросы общей теории. В практике нашего преподавания студенты устно защищают решения задач перед преподавателем. (Один из авторов оценил на себе полезность подобной системы, за что очень благодарен своим учителям, и прежде всего А. Шеню.) Основные лекции и лекции–семинары нумеруются независимо. Значительная часть примеров и задач взята из различных учебников и задачников. Мы постарались наиболее полно отразить их список в библиографии.