Положий Г.Н. Численное решение двумерных и трехмерных краевых задач математической физики и функции дискретного аргумента

Киев: Издательство Киевского Университета, 1962. — 164 с.Книга посвящена предложенному автором экономичному методу решения разно­стных краевых задач, аппроксимирующих двумерные и трехмерные краевые задачи для линейных уравнений в частных производных. Решения разностных краевых задач получаются в формульном виде, содержащем небольшое число параметров, численные значения которых находятся из линейных алгебраических уравнений. В силу этого в фактическом счете участвует значительно меньшее число величин, чем число узлов сетки, что снижает объем работы и уменьшает накапливание погрешности округления.
Это позволяет, как показывает приведенный автором пример, использовать разностные сетки, содержащие до нескольких миллионов узлов, и достигать высокой точности. Представляет интерес более широкое опробование предложенного метода и сравнение
его с другими методами.
Книга состоит из двух глав. В гл. I излагается общая теория одномерной задачи о собственных значениях и собственных функциях дискретного аргумента и изучают­ся так называемые «матрицы типа П». Находится в явном виде решение ряда одно­мерных разностных краевых задач и излагается общий метод построения специальных функций дискретного аргумента, через которые выражается общее решение одномер­ного линейного разностного уравнения второго порядка с переменными коэффициен­тами. Выводятся формулы сложения аргумента для этих функций, упрощающие вы­числения.
В гл. II автор излагает так называемый метод суммарных представлений для ре­шения двумерных и трехмерных краевых задач математической физики, используя аппарат, развитый в гл. I. Дается развернутое применение метода суммарных представлений к решению краевых задач в случае достаточно широкого класса областей для уравнений Лапласа и Пуассона, бигармонического уравнения, а также уравнений параболического и гиперболического типа с постоянными коэффициентами для функ­ций с двумя и тремя] независимыми переменными. Кратко рассматривается вопрос о применении метода в двумерном и трехмерном случаях к уравнениям с переменными коэффициентами.