Славнов Н.А. Алгебраический анзац Бете

М.: МИАН, 2017. – 189 с.(Лекционные курсы НОЦ, ISSN: 2226-8782; Вып. 27)Серия “Лекционные курсы НОЦ” – рецензируемое продолжающееся издание Математического института им. В.А. Стеклова Российской академии наук (МИАН). В серии “Лекционные курсы НОЦ” публикуются материалы специальных курсов, прочитанных в МИАН в рамках программы “Научно-образовательный центр МИАН”. Вашему вниманию предлагается сокращенный вариант лекций “Геометрические методы в математической физике”, которые автор читал в течении 2008–2014 годов в Научно-образовательном центре МИАН.В 1931 году Г. Бете предложил оригинальный метод построения собственных функций квантового гамильтониана спиновой цепочки Гейзенберга. Этот метод получил название анзаца Бете и дал начало новому подходу к изучению целого класса квантовых систем. Несмотря на то что модели, решаемые анзацем Бете, являются (1 + 1)-мерными, они находят достаточно широкое применение в различных областях квантовой физики, например в физике твердого тела, моделях сверхпроводимости и нелинейной оптики. Более того, в начале XXI века неожиданно было обнаружено, что этот метод оказывается весьма эффективным при решении ряда задач и в теориях с большим числом измерений, в частности в суперсимметричных калибровочных теориях поля и теории струн. На рубеже 70–80 годов XX века в работах Ленинградской школы под руководством Л. Д. Фаддеева был развит Квантовый метод обратной задачи (КМОЗ). В рамках этого метода было установлено, что многие квантовые модели, решаемые анзацем Бете и имеющие совершенно различную физическую интерпретацию, могут быть описаны с помощью одной и той же алгебры операторов, являясь по сути различным представлениями этой алгебры. При этом многие важные свойства физических систем могут быть установлены уже на уровне алгебры, без использования ее конкретного представления. Этот подход и получил название алгебраического анзаца Бете. Если совсем коротко, то алгебраический анзац Бете — это метод работы со специальный алгеброй операторов, описывающей достаточно широкий класс квантовых систем. Именно об этом и рассказано в лекциях, которые предлагаются вниманию читателя. Несмотря на значительный объем, эти лекции ни в коей мере не претендуют на полноту. Так, в них совершенно не затронут исходный метод, предложенный Г. Бете, который после появления алгебраического анзаца стали называть координатным анзацем Бете. Я не стал этого делать, потому что по координатному анзацу Бете уже существует многочисленная и хорошая литература. В лекциях также ничего не говорится об иерархическом (вложенном) анзаце Бете, но уже по другой причине — этот подход во многом еще находится в стадии разработки. Я также не упомянул родственные подходы, такие как метод разделения переменных Склянина и метод Q-оператора Бакстера. Я не старался охватить наибольшее количество тем и подходов, а вместо этого сконцентрировался на одном методе, но зато постарался осветить его подробно. Я также поместил в этих лекциях ряд результатов, которые были получены буквально в последние годы и которые еще не отражены в монографиях.
Для понимания лекций необходимо знание линейной алгебры, анализа, теории функций комплексного переменного, некоторые сведения из функционального анализа. Знание квантовой механики приветствуется, однако, как правило, это требуется лишь для физической интерпретации полученных результатов.Введение.
Тензорное произведение матриц.
Квантовые интегрируемые системы.
Алгебраический анзац Бете.
Уравнения Бете.
Тригонометрическая R-матрица и L-оператор общего вида.
Шестивершинная модель.
Матрицы чередующихся знаков.
Мультикоммутационные соотношения.
Скалярные произведения векторов Бете.
Квантовая обратная задача.
Композитная модель.
Нулевые моды.
Формфакторы локальных операторов.
Формфакторы локальных операторов в квантовом нелинейном уравнении Шрёдингера.
Корреляционные функции.
Список литературы.