Антоневич А.Б., Князев П.Н., Радыно Я.В. Задачи и упражнения по функциональному анализу. Более 1700 задач

Учебное пособие. — Изд. 4-е, испр. — Под ред. С. Г. Крейна. — М.: Либроком, 2010. — 216 с. — ISBN: 978-5-397-01416-8.Настоящее учебное пособие представляет собой сборник задач и упражнений по функциональному анализу. Сборник состоит из одиннадцати глав, отражающих основные вопросы университетского курса функционального анализа. В начале каждой главы даны краткие теоретические сведения, затем - задачи и упражнения различной степени трудности. К задачам приведены ответы и указания. Определенное внимание в книге уделено так называемым контрпримерам - примерам, показывающим, что некоторые правдоподобные, на первый взгляд, утверждения неверны.
Пособие предназначено для студентов математических специальностей; оно может быть использовано при изучении таких дисциплин анализа, как теория множеств, топология, теория обобщенных функций, теория интегральных уравнений.ПредисловиеТеория множеств
Операции над множествами
Прямые произведения. Отношения Функции
Обратные отображения. Композиция отображений
Фактор-множества
Упорядоченные множества
Направленные множества. Фильтры Базы фильтров
Задачи и упражненияТопологические пространства
Топология. Окрестности .Замыкания
Сходящиеся последовательности. Непрерывность
Подпространства. Фактор-пространства
Произведения пространств
Задачи и упражненияМетрические пространства
Метрика. Топология метрического пространства
Полные метрические пространства
Принцип сжатых отображений
Ограниченность. Компактность
Задачи и упражненияТопологические векторные пространства
Векторные пространства
Топология на векторном пространстве
Фактор-пространства. Произведения. Прямые суммы
Индуктивные пределы
Задачи и упражненияЛинейные операторы в топологических векторных пространствах
Линейные непрерывные операторы и функционалы в л.в.п.
Топологии в пространстве линейных непрерывных отображений
Рефлексивные пространства
Задачи и упражненияНормированные векторные пространства
Задачи и упражненияЛинейные операторы и функционалы в нормированных пространствах
Задачи и упражненияУравнения с вполне непрерывными операторами в банаховых пространствах
Задачи и упражненияТеория интегрирования
Полунепрерывные функции
Мера
Верхний и нижний интегралы по положительной мере
Пренебрежимые функции и множества
Интегрируемые функции и множества
Измеримые множества и функции
Пространства LP
Порожденные меры и теорема Лебега-Радона-Никодима
Каноническое разложение меры. Носитель меры
Конечные меры
Произведение мер. Теорема Лебега-Фубини
Задачи и упражненияГильбертово пространство
Определение гильбертова пространства
Ортогональность и теорема о проекции
Ортонормальные базисы
Ряды Фурье
Линейные и билинейные функционалы
Ограниченные линейные операторы
Инвариантные и приводящие подпространства
Сходимость
Спектр оператора
Неограниченные линейные операторы
Сопряженные, симметричные и самосопряженные операторы
Замкнутые операторы
Задачи и упражненияБанаховы алгебры
Определения и некоторые свойства
Идеалы и гомоморфизмы коммутативных банаховых алгебр
Основная теорема
С* -алгебры
Задачи и упражненияЛитература
Предметный указатель