Аристова Е.Н., Лобанов А.И. Практические занятия по вычислительной математике в МФТИ. Часть II

Учебное пособие. — М. : МФТИ, 2015. — 310 с. — ISBN: 978-5-7417-0568-1.Во второй части учебного пособия собраны задачи, соответствующие материалам второго семестра «Вычислительная математика», изучаемого в Московском физико-техническом институте (государственном университете). Материал включает темы: численное решение жестких систем обыкновенных дифференциальных уравнений, общее решение линейных разностных уравнений, краевые задачи для систем обыкновенных дифференциальных уравнений, общая теория устойчивости разностных схем, разностные схемы для решения уравнений в частных производных параболического, гиперболического и эллиптического типов. Все главы делятся на несколько подразделов и содержат краткую теоретическую справку, задачи на доказательство, задачи с решениями, теоретические задачи, практические задачи. К некоторым главам добавлен раздел «Задачи для самостоятельной реализации», где собраны задания, предлагаемые студентам для самостоятельной реализации на компьютере.
Пособие предназначено для студентов и преподавателей вузов, а также специалистов по численному моделированию.ПредисловиеПостроение общего решения разностных задач
Разностное уравнение с постоянными коэффициентами
Общее решение разностного уравнения
Общее решение системы линейных разностных уравнений
Фундаментальные решения
Задачи с решениями
Задачи на доказательство
Теоретические задачи
Библиографический комментарийЖесткие задачи
Жесткие системы
Одношаговые методы
Неявные методы Рунге–Кутты
Методы Розенброка
Семейство схем Розенброка–Ваннера
Схема Розенброка с комплексными коэффициентами второго порядка (CROS)
Многошаговые методы
Явные и неявные схемы Адамса
Формулы дифференцирования назад (ФДН-методы)
Смешанные многошаговые методы
Исследование устойчивости многошаговых методов
Порядок аппроксимации смешанных многошаговых методов
Многошаговые методы в представлении Нордсика
Задачи на доказательства
Задачи с решениями
Теоретические задачи
Практические задачи
Задачи для самостоятельной реализации
Библиографическая справкаЧисленное решение обыкновенных дифференциальных уравнений. краевая задача
Введение
Линейные краевые задачи
Постановка краевой задачи для линейной системы ОДУ первого порядка
Пример краевой задачи для уравнения второго порядка
Линейная краевая задача
Жесткие краевые задачи
Метод численного построения общего решения
Метод дифференциальной прогонки
Конечно-разностный метод (метод прогонки)
Нелинейная краевая задача для уравнения второго порядка
Метод стрельбы
Метод линеаризации (метод Ньютона)
Аппроксимация граничных условий
Задача Штурма–Лиувилля
Задачи на доказательство
Задачи с решениями
Теоретические задачи
Практические задачи
Библиографическая справкаОбщая теория сходимости схем для уравнений в частных производных
Основные понятия теории разностных схем
Исследование устойчивости
Признак фон Неймана
Энергетический признак устойчивости
Сеточный принцип максимума
Принцип замороженных коэффициентов
Условие Куранта–Фридрихса–Леви
Исследование устойчивости разностных схем непосредственно по определению
Монотонность двухслойных схем
Методы построения разностных схем
Метод аппроксимации производных конечными разностями
Метод неопределенных коэффициентов
Интегро-интерполяционный метод и метод конечных объемов
Интерполяционно-характеристические методы
Метод прямых
Компактные разностные схемы
Бикомпактные разностные схемы Б. В. Рогова
Задачи на доказательство
Задачи с решениями
Теоретические задачи
Библиографический комментарийЧисленные методы решения уравнений параболического типа
Введение
Основные сведения
Элементы теории А. А. Самарского устойчивости двухслойных разностных схем
Переменный коэффициент теплопроводности
Задачи с переменным коэффициентом теплопроводности
Задачи с разрывами коэффициента теплопроводности
Квазилинейное уравнение теплопроводности
Многомерное уравнение теплопроводности
Задачи на доказательство
Задачи с решениями
Теоретические задачи
Практические задачи
Задачи для самостоятельного исследования
Библиографическая справкаЧисленные методы решения уравнений гиперболического типа
Введение
Линейное уравнение переноса
Характеристики
Разностные схемы
Монотонность
Аппроксимационная вязкость
Гибридные разностные схемы
Линейные системы с постоянными коэффициентами
Квазилинейное уравнение Хопфа
Волновое уравнение. Система уравнений акустики
Некоторые нелинейные уравнения гиперболического типа
Задачи на доказательство
Задачи с решениями
Теоретические задачи
Практические задачи
Задачи для самостоятельного исследования
Библиографическая справкаЧисленное решение уравнений в частных производных эллиптического типа
Примеры эллиптических уравнений. Постановки краевых задач
Простейшая разностная схема «крест». Сеточный принцип максимума. Пример исследования схемы на устойчивость
Об итерационных методах решения систем сеточных уравнений
О практической реализации итерационных методов
Метод простых итераций
Метод простых итераций с оптимальным параметром
Чебышёвское ускорение метода простых итераций
Трехслойный итерационный метод Чебышёва
Метод верхней релаксации (SOR)
Метод переменных направлений
Попеременно-треугольный итерационный метод (ПТИМ)
Сводка результатов по итерационным методам решения сеточных уравнений (на примере задачи Неймана в квадрате)
Задачи с решениями
Задачи на доказательство
Теоретические задачи
Практические задачи
Задачи для самостоятельной реализации
Библиографический комментарийОтветы к задачам
Литература