Карацуба А.А. Основы аналитической теории чисел

2-е изд. — М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1983. — 240 с.В книге на примере решения ряда классических проблем налагаются основы аналитических методов теории чисел. Второе издание значительно отличается от первого: добавлена глава о целых точках, переработаны главы о дзета-функции и ее применениях, даны указания к решению задач.
Книга будет полезна научным работникам, аспирантам и студентам, желающим творчески усвоить аппарат современной аналитической теории чисел.Предисловие
ОбозначенияЦелые точки
Постановка задачи, вспомогательные утверждения и простейшие результаты
Связь проблем теории целых точек с тригонометрическими суммами
Теоремы о тригонометрических суммах
Целые точки в круге и под гиперболой
ЗадачиЦелые функции конечного порядка
Бесконечные произведения. Формула Вейерштрасса
Целые функции коночного порядка
ЗадачиГамма-функция Эйлера
Определение и простейшие свойства
Формула Стерлинга
Бета-функция Эйлера и интеграл Дирихле
ЗадачиДзета-функция Римана
Определение и простейшие свойства
Простейшие теоремы о пулях
Приближение конечной суммой
ЗадачиСвязь между суммой коэффициентов ряда Дирихле и функцией, задаваемой этим рядом
Общая теорема
Асимптотический закон распределения простых чисел
Представление функции Чебышева в виде суммы по нулям дзета- функции
ЗадачиМетод И. М. Виноградова в теории дзета-функции
Теорема о среднем значении модуля тригонометрической суммы
Оценка дзетовой суммы
Оценка дзета-функции вблизи единичной прямой 98
Теоретико-функциональная лемма
Новая граница нулей дзета-функции
Новый остаточный член в асимптотической формуле распределения простых чисел
ЗадачиПлотность нулей дзета-функции и проблема распределения простых чисел в интервалах малой длины
Простейшая плотностная теорема
Простые числа и интервалах малой длины
ЗадачиL-ряды Дирихле
Характеры и их свойства
Определение L-рядов и их простейшие свойства
Функциональное уравнение
Нетривиальные пули; разложение логарифмической производной в ряд по нулям
Простейшие теоремы о нулях
ЗадачиПростые числа в арифметических прогрессиях
Явная формула
Теоремы о границе нулей
Асимптотический закон распределения простых чисел в арифметических прогрессиях
ЗадачиПроблема Гольдбаха
Вспомогательные утверждения
Круговой метод в проблеме Гольдбаха
Линейные тригонометрические суммы с простыми числами
Эффективная теорема
ЗадачиПроблема Варинга
Круговой метод в проблеме Варинга
Оценка суммы Г. Вейля и асимптотическая формула в проблеме
Варинга
Оценка G(n
ЗадачиУказания к решению задач
Таблица простых чисел <4070 и их наименьших первообразных корней
Литература