Норден А.П. Элементарное введение в геометрию Лобачевского

М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1953. — 248 с.Цель настоящей книги — дать элементарное и вместе с тем систематическое и достаточно строгое изложение основ геометрии Лобачевского. Введение содержит краткий очерк возникновения геометрии Лобачевского, а первая глава — обзор аксиом абсолютной геометрии и ее основных теорем. Излагаются теория дефектов и площадей, теория кривых постоянной кривизны, элементы стереометрии Лобачевского, основные формулы гиперболической тригонометрии и др. Последняя глава посвящена вопросу о влиянии идей Лобачевского на развитие математики, в особенности геометрии. Изложение сопровождается замечаниями исторического и методологического характера и во многих частях отличается от традиционного.
Книга рекомендуется студентам старших курсов физико-математических факультетов вузов и студентам других специальностей, аспирантам, преподавателям, учащимся старших классов средней школы, а также всем любителям математики, желающим ознакомиться с идеями нашего великого геометра.Предисловие
Введение
Геометрия и её возникновение
Основные черты дедуктивного метода
Геометрия и действительность
Постулат Евклида
Открытие Лобачевского
Аксиомы планиметрии
Основные понятия и группы аксиом
Аксиомы соединения
Аксиомы порядка
Аксиомы движения
Аксиома непрерывности
Теория измерения
Аксиома о параллельных и её следствия
Дополнительные теоремы абсолютной геометрии
Определение параллельных прямых
Теоремы о наклонных
Взаимное расположение параллельных прямых
Абсолютная геометрия и геометрия Евклида
Основные теоремы геометрии Лобачевского
Аксиома Лобачевского и её простейшие следствия
Функция Лобачевского
Заградительные прямые
Взаимное расположение параллельных прямых в плоскости Лобачевского
Вырожденные многоугольники.
Взаимное расположение сверхпараллельвых прямых
Дефект и площадь многоугольника
Дефект многоугольника
Четырёхугольник Хайама-Саккери
Дефект многоугольника в геометрии Лобачевского
Четвёртый признак равенства треугольников
Теория площадей в геометрии Лобачевского
Площади вырожденных многоугольников
Основные кривые плоскости Лобачевского
Пучки прямых
Биссектор двух прямых
Соответствие точек на прямых
Основные кривые
Три типа основных кривых
Абсолютная стереометрия
Аксиомы стереометрии
Теоремы абсолютной стереометрии
Параллельные прямые в пространстве
Геометрия пространства Лобачевского
Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве Лобачевского
Связки прямых
Основные поверхности
Три типа основных поверхностей
Геометрия на орисфере
Внутреняя геометрия поверхности
Осуществление абсолютной геометрии на орисфере
Измерение дуг или углов на орисфере
Положение о параллельных на орисфере
Геометрия на гиперсфере и на сфере
Показательные и гиперболические функции
Вводные замечания
Компенсированное растяжение
Натуральная показательная функция
Гиперболические функции
Некоторые соотношения теории гиперболических функций
Гиперболическая тригонометрия
Отображение плоскости на орисферу
Ангармоническое отношение и проективная мера
Соотношение между длиной и проективной мерой в пространстве Лобачевского
Гиперболическая тригонометрия прямоугольного
треугольника
Гиперболическая тригонометрия косоугольного треугольника.
Явное выражение функции Лобачевского
Абсолютная единица длины
Непротиворечивость геометрии Лобачевского
Метод истолкования
Непротиворечивость аксиом групп I, II, IV и V геометрии Лобачевского
О полярных гомологиях
Окончание доказательства непротиворечивости геометрии Лобачевского
Геометрия Лобачевского и опыт
Приближённые формулы тригонометрии Лобачевского
Геометрия Лобачевского и современная математика
Судьба открытия Лобачевского
Анализ бесконечно малых
Теория поверхностей
Геометрия на псевдосфере
Проективная метрика Основания геометрии
Геометрия групп преобразований
Геометрия Римана
Геометрия и физика
Дальнейшие обобщения
Геометрия и анализ
Заключение