Lazutkin V.F. KAM-theory and semiclassical approximations to eigenfunctions

Berlin — Heidelberg — New York: Springer, 1993. — 388 p. — ISBN: 9783540533894, 3540533893.More than ten years ago I wrote a short book "Convex billiards and Laplacian eigenfunctions" which was issued in 1981 by Leningrad State University Press. It contained a detailed account of results on caustics in convex domains in the plane and their applications to the high-frequency asymptotics of eigenfunctions of the Laplacian in those domains, both topics being of interest for physicists and mathematicians. Issued in a very limited edition in Russian, that book was almost unknown to the Western reader. Professor L.D. Faddeev proposed to publish the English-translation in Springer-Verlag. In the process of preparing a new version, I started to generalize the results to higher dimensions and applications to the Schrodinger equation.The book was growing and the affair resulted in this volume.
I tried to give a comprehensive exposition of the topics involved, including all the details. The main theme is KAM tori (in the C^∞ setting) and eigenfunctions of the Schrodinger operator, which "tend" to KAM tori of the corresponding classical Hamiltonian system if h, the Planck constant, tends to zero. So I restrict myself somewhat to what can be called the "quasiintegrable" case: the classical system in question possesses KAM tori where it is quasiintegrable, the trajectories being quasiperiodic. The behaviour of trajectories in the complement seems to be chaotic. Professor A.I. Shnirelman kindly agreed to write an Addendum to this book devoted to eigenfunctions associated with chaotic regions, which, in my opinion, makes for a more complete exposition of the subject.I am grateful to Springer-Verlag for their great patience. I thank many people (it is impossible to mention all of them here) who helped me directly or indirectly during the preparation of the manuscript. Without their help the book could not be finished.
With an Addendum by A.I. ShnirelmanБолее десяти лет назад я написал короткую книгу «Выпуклый бильярд и собственные функции оператора Лапласа», выпущенную в 1981 году издательством Ленинградского государственного университета. Она содержала подробный отчет о результатах на каустиках в выпуклых областях в плоскости и их приложениях к высокочастотной асимптотике собственных функций лапласиана в этих областях, – обе темы представляющие интерес для физиков и математиков. Выпущенная в очень ограниченном количестве на русском языке эта книга была почти неизвестна западному читателю. Профессор Л.Д. Фаддеев предложил опубликовать англоязычный перевод в Springer-Verlag. В процессе подготовки новой версии я начал обобщать результаты на более высокие размерности и приложения к уравнению Шредингера.Книга росла, и дело привело к этому тому.
Я попытался дать исчерпывающее изложение затронутых тем, включая все детали. Основной темой является KAM-торы (в настройке C^∞) и собственные функции оператора Шредингера, которые «приближаются» к торам КАМ соответствующей классической гамильтоновой системы, если постоянная Планка h стремится к нулю. Поэтому я ограничиваюсь тем, что можно назвать «квазиинтегрируемым» случаем: классическая система, о которой идет речь, обладает торами КАМ, где она квазиинтегрируема, причем траектории являются квазипериодическими. Поведение траекторий в дополнении кажется хаотичным. Профессор А. И. Шнирельман любезно согласился написать Дополнение к этой книге, посвященную собственным функциям, связанным с хаотическими областям, что, на мой взгляд, даёт более полное изложение предмета.Я благодарен Springer-Verlag за их терпение. Я благодарю многих людей (здесь их невозможно упомянуть), которые помогли мне прямо или косвенно во время подготовки рукописи. Без их помощи книга не могла быть закончена.
C добавлением А. И. Шнирельмана