Постников М.М. Теорема Ферма. Введение в теорию алгебраических чисел

М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1978. - 128 с.Книга является введением в теорию алгебраических чисел. Основные понятия и идеи этой теории изложены в ней в связи с теоремой Ферма. Читатель должен видеть, что их появление не случайно, а диктуется логикой решения конкретной задачи. Одна из целей книги — убедить читателя в глубине и сложности проблематики, связанной с теоремой Ферма, и в полной бесперспективности поисков ее элементарного доказательства.
Изложение в книге ведется концентрически, с тем чтобы читатель, даже с минимальной подготовкой (например, школьник), мог усвоить основные идеи.
Книга предназначена школьникам старших классов (в ее первых главах), студентам, читателям и всем любителям математики. Она может быть интересна и более квалифицированным читателям, которые хотят познакомиться с теорией алгебраических чисел в ее классическом аспекте.Предисловие
История теоремы Ферма
Ферма и его работы по теории чисел
Теорема Ферма
Премия Вольфскеля и «ферматисты»
Замечание Грюнерта
Эйлер, Ламе, Куммер
Теоремы Куммера
Теорема Вандивера
Первый случай теоремы Ферма
Жермен, Лежандр, Вендт
Первый случай теоремы Ферма после Куммеpа
Теорема Жермен
Предварительные замечания
Лемма о произведеии n-х степеней
Формулы Абеля
Сравнения
Доказательство теоремы Жермен
Следствия
Теорема Ферма для показателя 4
Случай показателя 2
Доказательство теоремы Ферма для показателя 4
Теорема Ферма для показателя 3
Лемма Эйлера
Вывод тeopeмы Ферма для показателя 3 из леммы Эйлера
Арифметика кольца D₃
Эйлерово «доказательство» леммы
Обсуждение
Кольцо D₃ и поле К₃
Норма
Единицы колец
Простые элементы
Разложение на простые множители
Арифметика в кольцах
Кольца главных идеалов
Евклидовы кольца
Алгоритм деления в кoльце D₃
Доказательство леммы Эйлера
Приложение. Об арифметике многочленов
Неприводимые многочлены
Неприводимые многочлены и многочлены меньшей степени
Поле K_l и кольцо D_l
Неприводимость многочлена деления круга
Поле K_l
Норма
Кольцо D_l
Число λ и его свойства
Единицы кольца D_l
Корни из единицы, содержащиеся в кольце D_l
Вещественные единицы
Лемма Куммеpa
Первый случай теоремы Ферма
Вспомогательное утверждение
Вывод первого случая теоремы Ферма из Вспомогательного утверждения
Доказательство Вспомогательного утверждения в cлучае, когда в кольце Dl выполнена основная теорема арифметики
Теория дивизоров
Свободные коммутативные моноиды
Кольца, допускающие теорию дивизоров
Дивизоры в кольцах с однозначным разложением на множители
Классы дивизоров
Регулярные простые числа
Доказательство Вспомогательного утверждении для регулярных простых чисел
Второй случай теоремы Ферма
Предварительные замечания
Доказательство теоремы Ферма для регулярных показателей
Теория идеалов
Примеры идеалов
Идея Дедекинда
Моноид идеалов
Кольца, аддитивная группа которых является решеткой
Кольца, алгебраически вкладываемые в поле С
Конечность числа классов идеалов
Целозамкнутые кольца
Свойства идеалов
Идеалы как дивизоры
Необходимость условия целозамкнyтости
Приложение. Норма идеала
Сравнения по модулю идеала
Сравнение по взаимно простым модулям
Идеалы, порожденные двумя элементами
Норма идеала
Индекс
Пересечение идеалов
Мультипликативность нормы
Норма главного идеала
Критерий простоты идеала
Целые алгебраические числа
Поле алгебраических чисел и кольцо целых алгебраических чисел
Поля конечной степени
След
Целозамкнyтость кольца Dl
Дивизоры в произвольных полях алгебраических чисел
Регулярные простые числа
Первoобразные корни
Первый и второй множители числа классов
Редукции ко второму множителю
Числа Бернулли
Критерий регулярности Куммера