Бабенко В.Ф., Корнейчук Н.П., Кофанов В.А., Пичугов С.А. Неравенства для производных и их приложения

Монография. — Киев: Наукова думка, 2003. — 590 с. — ISBN: 966-00-0074-4.В монографии систематизированы результаты исследований по неравенствам для норм промежуточных производных (неравенствам типа Колмогорова) функций с различными областями определения. Изложены как классические, так и полученные в последнее время результаты.
Содержание.
ПредисловиеИстоки
Теорема о производных.
Результаты Ландау и Адамара.
Другие доказательства результатов Ландау и Адамара.
Неравенства для производных с монотонными мажорантами.
Неравенства Харди-Литлвуда в L₂ на полуоси.
Неравенства Харди-Литлвуда-Полиа в L₂ на оси и окружности.
Обсуждения и постановки задач.
Комментарии к главе.
Дополнительные результаты к главе.Неравенства Колмогорова и Надя
Идеальные сплайны Эйлера.
Теорема сравнения Колмогорова.
Неравенство Колмогорова.
Существование функции с заданными нормами производных.
Доказательство Банга неравенства Колмогорова.
Неравенство Стейна.
Доказательство Лигуна неравенств Колмогорова и Стейна.
Теорема сравнения в несимметричном случае.
Неравенство Колмогорова в несимметричном случае.
Неравенство Надя.
Аналог неравенства Надя для периодических функций.
Комментарии к главе.
Дополнительные результаты к главе.Неравенства для равномерных норм производных на полуплоскости
Неравенство Маторина.
Доказательство Стечкина неравенства Маторина для функций с ограниченной третьей старшей производной.
Неравенство Шенберга-Каваретты и идеальные сплайны, наименее уклоняющиеся от нуля.
Неравенства типа Хермандера на полуоси.
Оценки Стечкина констант в неравенствах на полуоси.
Неравенство Оловянишникова для кратно-монотонных функций.
Комментарии к главе.
Дополнительные результаты к главе.Вопросы сушествования неравенств
Необходимые условия и их геометрическая интерпретация.
Необходимые и достаточные условия.
Критерий существования неравенств для периодических функций.
Существование неравенств с дробными производными.
Сравнение точных констант в неравенствах для производных функций, заданных на вещественной оси и окружности.
Условия существования аддитивных неравенств на конечном интервале Условия существования неравенств для норм производных почти периодических функций.
Комментарии к главе.
Дополнительные результаты к главе.Неравенства, связанные с L₂-нормами
Неравенства для степеней операторов в гильбертовом пространстве.
Уточнение неравенства Харди-Литлвуда-Полиа.
Одно неравенство для функций, заданных на отрезке.
Аддитивные неравенства типа Харди-Литлвуда-Полиа для периодических функций.
Неравенства типа Харди-Литлвуда-Полиа в пространстве L _{2-xt[sup]2[/sup]}(R).
Аддитивные неравенства типа Харди-Литлвуда-Полиа на конечном интервале.
Неравенство Тайкова.
Аналог неравенства Тайкова для периодических функций.
Оценка ||х^(k)||₂ через ||х||_р и ||x^(2k)||_p’ на оси и окружности.
Неравенство Габушина на полуоси.
Асимптотика для точных констант в неравенстве Габушина.
Неравенства типа Харди-Литлвуда-Полиа на полуоси.
Комментарии к главе.
Дополнительные результаты к главе.Неравенства для периодических функций
Теоремы сравнения перестановок производных.
Неравенство Лигуна и его несимметричные аналоги.
Неравенство Лигуна, учитывающее число перемен знака производных.
Неравенства для функций с существенно ограниченной старшей производной.
Неравенства для функций с интегрируемой старшей производной.
Еще одно неравенство для функций с интегрируемой старшей производной.
Дальнейшие результаты о сравнении перестановок.
Неравенства типа Надя.
Сравнение перестановок и неравенства для сопряженных функций.
Неравенства для производных полуцелого порядка.
Комментарии к главе.
Дополнительные результаты к главе.Приложения неравенств типа Колмогорова
Задача Стечкина и задача восстановления значений неограниченного оператора.
Задача Стечкина для операторов дифференцирования.
Теорема эквивалентности.
Теорема эквивалентности для опорных функций выпуклых множеств.
Приближение класса Η^ω классом NW_∞ⁱ и решение эквивалентных задач.
Приложения неравенств типа Колмогорова в теории аппроксимации.
Неравенства для верхних граней функционалов как неравенства типа Колмогорова.
Поперечники и экстремальные подпространства.
Комментарии к главе.
Дополнительные результаты к главе.Экстремальные свойства полиномов и сплайнов
Неравенства типа Бернштейна для полиномов.
Неравенства типа Бернштейна для сплайнов.
Неравенства типа Бернштейна для опорных функций классов W^rΗ^r
Неравенства типа Никольского для полиномов.
Неравенства типа Никольского для сплайнов.
О некоторых экстремальных свойствах совершенных сплайнов и моносплайнов.
Комментарии к главе.
Дополнительные результаты к главе.Обзор других результатов
Задача Колмогорова о функциях с заданными нормами производных.
Точные неравенства для норм производных на оси.
Точные неравенства для норм производных на полуоси.
Точные неравенства для норм производных на окружности.
Об аддитивных неравенствах на отрезке.
Комментарии к главе.
Дополнительные результаты к главе.Дополнение
Наилучшие приближения.
Перестановки.
Σ-перестановки.Список литературы