Ершов А.В. Лекции по линейной алгебре

Долгопрудный: МФТИ, 2020. — 169 с.Данный текст основан на курсе линейной алгебры, который автор на протяжении ряда лет читает в МФТИ. При написании данного текста автор стремился дать более подробное изложение лекционного материала, подходящее и для самостоятельного изучения, поэтому его довольно большой объем не должен смущать читателя. В текст включено большое количество примеров, которые иллюстрируют теорию. Некоторые примеры даны в виде задач, частично решенных прямо в тексте. Некоторые из таких задач достаточно сложны, и читатель может их пропустить.
Можно сказать, что в течение данного курса мы движемся от алгебры к геометрии. Например, сначала мы без достаточной мотивации вводим матрицы и операции с ними (например, умножение), а уже потом получаем их важнейшую геометрическую интерпретацию как координатной записи линейных отображений, а их умножения — как композиции таких отображений. Другой аналогичный пример дает операция транспонирования матриц, которая затем получает интерпретацию как переход к сопряженному отображению. Переход от матриц к линейным отображениям — движение в сторону большей абстракции, в мир более чистых идей. Парадоксально, но на абстрактном уровне теория идейно упрощается (например, многие теоремы о системах линейных уравнений проще понимать и доказывать на языке линейных отображений). Там, где это естественно, мы не избегаем использования таких общематических понятий как отношение эквивалентности, группа, инвариант и т.д., что, по нашему мнению, должно способствовать росту математической культуры читателя.Введение.
Некоторые сведения из алгебры.
Алгебра матриц.
Определители.
Начала линейной алгебры.
Линейные пространства и отображения.
Линейные операторы.
Билинейные и квадратичные функции.
Евклидовы пространства.
Операторы и билинейные функции в евклидовых пространствах.