Ватульян А.О. Коэффициентные обратные задачи механики

М.: Физматлит, 2019. — 272 с.В монографии рассмотрены различные подходы к исследованию обратных коэффициентных задач, в которых по некоторой дополнительной информации о решении (смещения, температура, резонансные частоты) определяются коэффициенты дифференциальных операторов, характеристики внутренних дефектов (полостей, включений, трещин). Излагаются постановки задач, основы общих подходов в теории обратных и некорректных задач, особенности реализации при решении конкретных задач теории упругости, вязкоупругости, электроупругости, термоупругости, диагностики предварительного состояния для стержней, пластин, цилиндров, слоистых структур. Представлены способы исследования конечномерных обратных задач, схемы построения операторных уравнений с компактными операторами в итерационных процессах по определению функций, приведены результаты вычислительных экспериментов. Книга адресована научным и инженерно-техническим работникам, студентам старших курсов и аспирантам, специализирующимся в области механики, математического моделирования, прикладной математики, численных методов, экспериментальной механики.Математические модели. Корректные и некорректные задачи.
Математические модели в технике и естествознании и их некоторые особенности.
Некоторые общие аспекты теории идентификации. Прямая и обратная задачи.
Структурная и параметрическая идентификация. Коэффициентные обратные задачи.
Корректные и некорректные задачи. Корректность по Адамару. Корректность по А.Н. Тихонову (условная корректность) и корректность.
Основные причины и характеристики некорректности.
Способы преодоления некорректности. Регуляризация.
Метод квазирешений.
Метод регуляризации А.Н. Тихонова.
Метод регуляризации на компактных множествах.
Метод итерационной регуляризации.
Метод усеченных сингулярных разложений.
Проекционный метод.
Регуляризованные методы вычисления значений неограниченных операторов. Численное дифференцирование.
Построение обратных к вполне непрерывным операторам на примере уравнения Фредгольма 1-го рода.Конечномерные обратные задачи. Определение постоянных параметров в краевых задачах (коэффициентов дифференциальных операторов, параметров дефектов, граничных условий).
Метод Прони.
Метод квазилинеаризации.
Методы решения конечномерных обратных задач на основе генетических алгоритмов.
Об определении параметров упругих потенциалов.
Идентификация полимерных материалов на основе дифференциальной формы определяющих соотношений.
Определение коэффициента температуропроводности.
Конечномерные обратные задачи для стержней. Идентификация полости в упругом стержне при анализе поперечных колебаний.
Конечномерные обратные задачи для стержней. Определение локализованной зоны деструкции в упругой балке.
Конечномерные обратные задачи для стержней. Идентификация тонкого надреза при изгибных колебаниях балки.
Конечномерные обратные задачи для стержней. Определение параметров дефекта в балке для модели Тимошенко.
Определение параметров упругого закрепления неоднородной балки.
Оценка деформативности неоднородной пластины в случае упругого опирания.
Об определении остаточного упруго-пластического состояния трубы.Общие принципы исследования коэффициентных обратных задач с переменными характеристиками. Решение линейных коэффициентных обратных задач.
Коэффициентные обратные задачи для линейных операторов. Обобщенное соотношение взаимности. Типы коэффициентных обратных задач, их особенности, первая и вторая постановки.
Слабая и вариационная постановки обратных задач.
Решение задач в первой постановке. Коэффициентные обратные задачи при изучении продольных и поперечных колебаний упругого стержня (коэффициентные обратные задачи для дифференциальных операторов второго и четвертого порядка).
Обратная задача о колебаниях неоднородной пластины.
Коэффициентная обратная задача для уравнения в частных производных в первой постановке.
Коэффициентные обратные задачи для уравнений теории упругости (плоский случай в первой постановке).Коэффициентные обратные задачи во второй постановке.
Обратные задачи при исследовании продольных и изгибных колебаний неоднородного упругого стержня.
Коэффициентные обратные задачи при исследовании колебаний неоднородного упругого стержня. Восстановление модуля Юнга, модуля сдвига, плотности.
Идентификация неоднородных свойств вязкоупругого стержня при изгибных колебаниях.
Идентификация неоднородных свойств ортотропного упругого слоя.
Обратные задачи термоупругости. Задачи для термоупругого стержня.
Об идентификации неоднородного предварительного напряженного состояния в термоупругих телах.
О реконструкции неоднородных свойств пьезоэлектрических тел.
Об определении свойств многослойных биологических тканей.
Постановка задач о колебаниях предварительно напряженных тел. Обратная задача для стержня.
Об определении предварительного напряженного состояния в трубе.
О коэффициентных обратных задачах пороупругости.