Петров И.Б. Вычислительная математика для физиков

М.: Физматлит, 2021. — 376 с. — ISBN 978-5-9221-1887-3.Рассматриваются вычислительные методы решения задач физики (в частности, механики, в том числе механики сплошных сред), а также различных прикладных задач. В книгу включены элементы функционального анализа, методы точных решений разностных уравнений, вопросы теоретического минимума по вычислительной математике для физиков и задачи для вычислительного практикума.
Для студентов университетов (факультетов физико-математического профиля) и технических вузов.Предисловие.Введение в предмет вычислительной математики.
Из истории вычислительной математики.
Вычислительный эксперимент. Высокопроизводительные вычисления.
Особенности вычислительной математики.
Список литературы.Необходимые сведения из функционального анализа.
Метрические пространства.
Примеры метрических пространств.
Линейные пространства.
Примеры линейных пространств.
Линейные нормированные пространства.
Банаховы и гильбертовы пространства.
Линейные операторы.
Операторы в гильбертовом пространстве.
Операторные уравнения.
Производные Гато и Фреше.
Корректность задачи.
Список литературы.Численные методы решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ).
Число обусловленности СЛАУ.
Обусловленность СЛАУ.
Прямые методы численного решения СЛАУ.
Метод простых итераций (МПИ).
Сходимость итерационного процесса.
Итерационные вариационные методы последовательных приближений (итераций) численного решения СЛАУ.
Список литературы.Приближение функций (аппроксимация функций в функциональных пространствах). Метод наименьших квадратов (МНК).
Постановка задачи.
Существование и единственность полинома наилучшего приближения.
Сходимость полинома наилучшего приближения.
Полиномы Бернштейна.
Аппроксимация тригонометрическими полиномами.
Метод наименьших квадратов.
Список литературы.Численные методы решения нелинейных алгебраических уравнений.
Введение.
Неподвижная точка отображения, сжимающий оператор.
Метод простых итераций (МПИ).
Метод Ньютона.
Список литературы.Методы интерполяции функций.
Постановка задачи.
Интерполяционный полином в форме Лагранжа.
Интерполяционный полином в форме Ньютона.
Конечные разности.
Погрешность интерполяции.
Минимизация погрешности интерполяционного процесса.
Сходимость интерполяционного процесса.
Другие виды интерполяции.
Многомерная интерполяция.
Интерполяция с кратными узлами.
Кусочно-полиномиальная сплайн-интерполяция.
B-сплайны.
Список литературы.Численные методы интегрирования функций.
Интерполяционные квадратурные формулы.
Квадратурные формулы Чебыш¨eва, Гаусса, Гаусса–Кристоффеля.
Вычисления кратных интегралов.
Вычисления интегралов с особенностями.
Апостериорная практическая оценка погрешности квадратурных интерполяционных формул.
Список литературы.Численное решение задач Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ).
Методы Рунге–Кутты (нежесткие задачи).
Метод Ричардсона.
Барьеры Бутчера.
Список литературы.Численное решение задачи Коши для систем жестких обыкновенных дифференциальных уравнений.
Понятие жестких систем ОДУ.
Устойчивость жестких систем ОДУ.
Нелинейные жесткие системы ОДУ.
Численные методы решения жестких систем ОДУ.
Список литературы.Численные методы решения краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений.
Метод фундаментальных систем.
Краевые задачи для уравнения второго порядка.
Метод прогонки.
Нелинейные краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений.
Метод Фурье.
Методы Ритца и Галёркина.
Список литературы.Точные решения разностных уравнений.
Список литературы.Основные понятия теории разностных схем.
Сходимость, аппроксимация и устойчивость методов.
Построение разностных схем. Исследование на сходимость.
Список литературы.Численные методы решения дифференциальных уравнений в частных производных параболического типа (уравнения диффузии, теплопроводности).
Однородное линейное уравнение теплопроводности.
Нелинейное одномерное уравнение теплопроводности.
Методы расщепления для численного решения многомерных уравнений параболических типа.
Список литературы.Численное решение дифференциальных уравнений в частных производных гиперболического типа.
Двухслойные разностные схемы для численного решения линейного уравнения переноса.
Двухслойные разностные схемы для решения нелинейного уравнения переноса.
Трехслойные разностные схемы для решения уравнения переноса.
Разностные схемы для решения волнового уравнения и акустической системы.
Гибридные разностные схемы.
Список литературы.Разностные методы для численного решения уравнений эллиптического типа (уравнения электро- статики, Лапласа, Пуассона).
Постановка задачи Дирихле для уравнения Пуассона.
Итерационные методы решения задачи Дирихле для уравнения Пуассона.
Список литературы.Математические модели механики сплошных сред (МСС).
Вывод уравнений механики сплошных сред.
Уравнения МСС в интегральной форме.
Система уравнений газовой динамики.
Уравнение Навье–Стокса, описывающее течение вязкой жидкости.
Система уравнений теории упругости.
Нестационарная модель динамики морских и океанических течений.
Уравнения магнитной гидродинамики (МГД).
Система уравнений Прандтля ламинарного пограничного слоя в несжимаемой жидкости.
Система уравнений теории мелкой воды.
Система уравнений акустики.
Введение в разностные схемы газодинамики.
Уравнение бесстолкновительной плазмы (уравнение Власова).
Список литературы.Приложение.
Теоретические вопросы к курсу лекций по вычислительной математике (теоретический минимум).
Примеры задач к вычислительному практикуму по курсу.