Чернятин В.А. Обоснование метода Фурье в смешанной задаче для уравнений в частных производных

Монография. — М.: Московский университет, 1991. — 112 с. — ISBN 5-211-01579-7.Монография посвящена проблеме существования классических решений смешанных задач для линейных уравнений в частных производных, допускающих разделение переменных по методу Фурье, строгое математическое обоснование которого впервые было дано В.А.Стекловым в 1922 г. Изложен принципиально новый подход к обоснованию метода Фурье, основанный на отказе от почленного дифференцирования формальных рядов и замене его непосредственным суммированием их с функциями с нужными дифференциальными свойствами. Предложенная модификация метода Фурье позволяет получать необходимые и достаточные условия классической разрешимости смешанных задач.
Для научных работников, преподавателей вузов и аспирантов, специализирующихся в области решения краевых задач математической физики.Введение.
Новый подход к обоснованию метода Фурье в смешанной задаче для уравнений в частных производных.
Постановка смешанной задачи.
Представление решения и его единственность.
Модификация процедуры обоснования метода Фурье.
Существование решения.
Основные асимптотические соотношения для краевой задачи Штурма – Лиувилля.
Представление решения системы Штурма – Лиувилля отрезком ряда Неймана.
Первая форма асимптотического выражения для собственных функций.
Нормирование собственных функций.
Связь между коэффициентами Фурье по различным базисам.
Необходимые и достаточные условия существования классического решения смешанной задачи для одномерного волнового уравнения.
Постановка задачи.
Необходимые условия разрешимости и основной результат.
Структурные свойства формального ряда.
Гладкость регулярной составляющей.
Суммирование сингулярной составляющей.
Доказательство существования решения.
Разрешимость смешанной задачи для неоднородного гиперболического уравнения.
Введение.
Постановка задачи и основной результат.
О возможностях метода Дюамеля.
Суммирование одного функционального ряда.
Структурные преобразования формального ряда.
Гладкость формального решения.
Доказательство теоремы существования решения.
Необходимые граничные условия на правую часть уравнения.
Эквивалентная форма основной теоремы существования.
Некоторые достаточные условия разрешимости задачи.
Разрешимость смешанной задачи для однородного уравнения Шредингера.
Постановка задачи.
Структура формального решения.
Сведение проблемы разрешимости к каноническому случаю.
О функциональных свойствах ряда Фурье.
О предельной гладкости формального решения.
Об отсутствии классического решения.
Условия разрешимости задачи.
Разрешимость смешанной задачи для неоднородного уравнения теплопроводности.
Постановка задачи.
Асимптотическая формула коэффициентов Фурье.
Гладкость формального решения.
Достаточные условия разрешимости задачи.
Приложения.
Свойства сходимости функциональных рядов специального вида.
О дифференцировании по параметру интегралов с кусочно-непрерывной подынтегральной функцией.
Одна формула приближенного интегрирования по частям.
Редукция общей смешанной задачи.
Литература.