Воробьев Н.Н. Теория рядов

4 издание, перераб. и доп. — М.: Наука, 1979. — 408 с. — (Избранные главы высшей математики для инженеров и студентов втузов).В книге излагаются основы теории числовых рядов, в том числе степенных рядов и рядов Фурье. Первая часть курса составлена в точном соответствии с разделом «Ряды» программы по высшей математике для инженерно-технических специальностей вузов. Ее можно использовать не только как учебное пособие для слушателей курса лекций, но и при самостоятельной работе над предметом. Вторая часть представляет собой цикл очерков, посвященных более глубоким вопросам теории рядов.Предисловие к первому изданию.
Предисловие к третьему изданию.
Предисловие к четвёртому изданию.
Прогрессии.
Введение.
Геометрические прогрессии.
Бесконечные прогрессии; их сходимость и расходимость.
Элементарные преобразования прогрессий.
Функциональные прогрессии: область сходимости; равномерная сходимость.
Почленное интегрирование прогрессий.
Почленное дифференцирование прогрессий.
Прогрессии с комплексными членами.
Числовые ряды. Основные понятия. Основные теоремы о сходимости.
Сложение и его свойства.
Определение числового ряда и его сходимости.
Остаток ряда.
Принцип сходимости Коши.
Критерий Коши сходимости рядов.
Необходимый признак сходимости ряда.
Желательность систематической теории.
Свойства сходящихся рядов, подобные свойствам сумм.
Дальнейшие свойства рядов.
Ряды с положительными членами.
Признаки сходимости рядов.
Признаки сравнения.
Интегральный признак сходимости Маклорена - Коши.
Применения интегрального признака сходимости.
Сравнительная оценка различных признаков сходимости.
Признак сходимости Даламбера.
Признак сходимости Коши.
Чувствительность признаков сходимости Даламбера и Коши.
Знакопеременные ряды.
Абсолютная сходимость и условная сходимость.
Абсолютная сходимость и расходимость.
Возможность переставлять члены в абсолютно сходящихся рядах.
Условно сходящиеся знакопеременные ряды.
Умножение абсолютно сходящихся рядов.
Признак сходимости Лейбница.
Существенности условий признака сходимости Лейбница.
Функциональные ряды.
Определение функционального ряда.
Область сходимости функционального ряда.
Сходимость последовательности функций. Основные определения.
Предел последовательности непрерывных функций.
Переход к пределу под знаком интеграла.
Переход к пределу под знаком производной.
Определение равномерной сходимости функционального ряда и признак Вейерштрасса.
Непрерывность суммы равномерно сходящегося ряда с непрерывными членами.
Почленное интегрирование функциональных рядов.
Почленное дифференцирование функциональных рядов.
Степенные ряды. Общие вопросы.
Определение степенного ряда.
Теорема Абеля.
Круг сходимости ряда.
Вещественный степенной ряд и его интервал сходимости.
Равномерная сходимость ряда в круге его сходимости.
Вещественные ряды.
Комплексные ряды.
Разложение функций в степенные ряды.
Формула Тейлора.
Ряды Тейлора и Маклорена.
Степенные ряды. Примеры и приложения.
Разложение функции e^x в ряд Маклорена.
Разложения в ряды Маклорена гиперболических функций ch x и sh x.
Разложения в ряды Маклорена тригонометрических функций cos x и sin x.
Показательная функция с комплексным значением показателя.
Формулы Эйлера.
Тригонометрические функции от комплексного значения аргумента.
Гиперболические функции от комплексного значения аргумента.
Вычисление значений функций при помощи ряда Маклорена.
Биномиальный ряд.
Приложения биномиального ряда.
Разложение в ряд Маклорена логарифмической функции.
Приближённое вычисление определённых интегралов при помощи степенных рядов.
Приближённое интегрирование дифференциальных уравнений при помощи степенных рядов.
Ортогональные и ортонормальные системы функций.
Проекции и разложения векторов.
Векторы и функции.
Нормированные и ортогональные функции.
Нормированные и ортогональные системы функций.
Нормировка систем функций.
Разложение по системам функций.
9 Ряды Фурье.
Ряды и коэффициенты Фурье.
Условия Дирихле и теорема о разложении функции в ряд Фурье.
Разложение периодических функций в ряд Фурье.
Физическое истолкования разложения функции в тригонометрический ряд Фурье.
Разложение функции f(x)=x.
Сдвиг сегмента разложения.
Изменение длины сегмента разложения.
Чётные и нечётные функции.
Разложение чётной функции в ряд Фурье.
Разложение нечётной функции в ряд Фурье.
Разложение в ряд Фурье функций на сегменте [0, π].
Комплексная форма записи ряда Фурье.
Разложение в комплексный ряд Фурье.
Характер сходимости рядов Фурье.
Уравнение свободных малых колебаний струны с закреплёнными концами.
Уравнение свободных малых колебаний струны.
Начальные и граничные условия.
Метод разделения переменных.
Использование граничных условий. Собственные функции и собственные значения.
Использование начальных условий.
Интеграл Фурье.
Представление функций интегралом Фурье.
Простейшие достаточные условия представимости функции интегралом Фурье.
Интеграл Фурье для чётных функций.
Интеграл Фурье для нечётных функций.
Комплексная форма интеграла Фурье.
Понятие о преобразовании Фурье.
Косинус-преобразование Фурье.
Синус-преобразование Фурье.
Спектральная функция.
Дальнейшие признаки сходимости рядов с постоянными членами.
Признак сходимости Куммера.
Признак сходимости Раабе.
Признак сходимости Бертрана.
Признак сходимости Гаусса.
Сходимость знакопеременных рядов.
Признак сходимости Дирихле.
Двойные ряды.
Определение двойного ряда.
Сходимость двойных рядов.
Критерии сходимости двойных рядов. Теорема Маркова.
Свойства двойных рядов и признаки сходимости.
Абсолютная сходимость двойных рядов.
Двойные функциональные ряды.
Двойные степенные ряды.
Разложение функций двух переменных в двойные ряды Тейлора и Маклорена.
Ортогональные и ортонормальные системы функций от двух переменных.
Двойные ряды Фурье.
Суммирование сходящихся рядов.
Постановка вопроса.
Линейные преобразования рядов.
Теорема Абеля и почленное дифференцирование и интегрирование рядов.
Последовательности разностей.
Преобразование рядов по Эйлеру.
Преобразование рядов по Куммеру.
Суммирование расходящихся рядов.
Расходящиеся геометрические прогрессии.
Суммирующие функции.
Суммирование по Пуассону - Абелю.
Линейность и регулярность суммирования по Пуассону - Абелю.
Суммируемость рядов по Пуассону - Абелю и их абсолютная сходимость.
Теорема Таубера.
Суммирование по Чезаро.
Соотношение между сходимостью по Чезаро и по Пуассону - Абелю.
Суммирование по Эйлеру.
Сходимость рядов Фурье.
"Вторая" теорема о среднем.
Исследование двух интегралов.
Исследование одного класса интегралов.
Доказательство теоремы Дирихле.
Теорема Фурье.
Коэффициенты Фурье разрывных функций
Скорость сходимости рядов Фурье.
Улучшение сходимости рядов Фурье по методу выделения особенностей.
О равномерной сходимости рядов Фурье.
Неравномерная сходимость последовательностей непрерывных функций.
Поведение рядов Фурье функций в точках их разрыва. Явление Гиббса.
Экстремальное свойство сумм Фурье.
Суммирование рядов Фурье по Чезаро. Теорема Фейера.
Равенство Парсеваля.
Теорема Вейерштрасса.
Применение рядов Фурье в теории изгиба балок.
Общая схема решения задач.
Изгиб балки.
Свободно опертая балка.
Первая возможность ограничиться двукратным дифференцированием.
Случай сосредоточенной нагрузки.
Прогиб балки от распределённой нагрузки.
Прогиб от сосредоточенного момента.
Статически неопределимая балка.
Сложный изгиб балки.
Балка на упругом основании.
Вторая возможность ограничиться двукратным дифференцированием. Потенциальная энергия изгиба балки.
Потенциальная энергия изгиба балки в случае нескольких нагрузок.
Функции прогиба с ортогональными вторыми производными.
Свободно опертая нагруженная балка.
Работа продольных сил при сложном изгибе балки.
Общий случай изгиба балки.
Общий случай изгиба свободно опертой балки.
Изгиб симметрично нагруженной балки, жёстко заделанной по концам.
Функция прогиба симметрично загруженной балки с жёстко заделанными концами.
Именной указатель.