Каледин В.О., Решетникова Е.В., Гридчина В.Б. Теория R-функций

Учебное пособие. — Новокузнецк: Кемеровский государственный университет (КемГУ), филиал г. Новокузнецк, 2017. — 119 с. ISBN 978-5-8353-1952-7.Содержание настоящего учебного пособия соответствует программе дисциплины «Теория R-функций», читавшейся авторами для студентов специальности «Прикладная математика и информатика». При его написании преследовалась цель доступного и систематического изложения основных результатов, необходимых для решения прикладных задач, по возможности не прибегая к специальным разделам математики. Уделено внимание способам построения нормализованных уравнений чертежей, интерполяции, продолжения дифференциальных операторов и построения структур решений краевых задач на кусочно-однородных областях. Пособие предназначено для студентов, высших учебных заведений, обучающихся по направлению 01.03.02 – прикладная математика и информатика. Возможно его использование в классических и технических университетах при изучении теории R-функций как раздела дисциплин «Численные методы», «Уравнения математической физики» и других дисциплин специализаций, в которых рассматриваются вопросы математического моделирования полей на областях неканонической формы.
Теория R-функций возникла в 70-е годы XX века усилиями авторского коллектива под руководством советского математика В.Л. Рвачёва, которому принадлежат основополагающие результаты.Введение.
Теоретическая часть.
Системы R-функций. Свойства систем.
Булевы предикаты замкнутых областей.
R-отображения и R-предикаты.
Основные системы R-функций.
Алгебро-логические свойства R-функций.
Дифференциальные свойства R-функций.Уравнение чертежа.
Чертеж и его уравнение. Классификация чертежей.
Алгоритмически полные системы R-функций.
Переход от предикатных уравнений к обычным.
Примеры построения уравнений элементарных чертежей.
Использование частичных булевых функций.
Семейства выпуклых областей.
Области Дирихле. Чертеж раздела.
Нормальное уравнение чертежа.
Нормальные уравнения дуги окружности и отрезка прямой.
Векторная нормальная функция.
Верхняя нормальная функция.
Нормализованные уравнения чертежа.
Учет симметрии чертежей при построении их уравнений.
Применение R-функций для решения задач математического программирования.
Применение R-функций для решения задач оптимального раскроя.Пучки функций. Структурный метод решения краевых задач.
Структурный метод решения краевых задач.
Продолжение граничных значений внутрь области.
Интерполяция функций и пучки.
Пучок функций, удовлетворяющих граничным условиям задачи Дирихле.
Продолжение дифференциальных операторов внутрь области.
Построение пучка функций, имеющих заданную нормальную производную на границе.
Продолжение внутрь области дифференциального оператора по длине граничной дуги.
Построение пучка функций, имеющих заданную производную по граничной дуге.
Структурный метод решения первой краевой задачи.
Структурный метод решения задачи Неймана.
Структурный метод решения краевой задачи с граничными условиями третьего рода.
Структурный метод решения смешанной краевой задачи.
Структурный метод решения краевой задачи на неоднородной области.
Методы нахождения неопределенных компонент.Практикум.
Системы R-функций. Свойства систем.
Множества. Операции над множествами. Булевы функции и их свойства.
R-отображения. Основные системы R-функций.
Алгебро-логические свойства основных систем R-функций.
Дифференциальные свойства основных систем R-функций.Уравнение чертежа.
Чертеж и его уравнение.
Нормальные уравнения чертежей.
Нормализованные уравнения чертежей.
Области Дирихле и чертежи раздела.Пучки функций. Структурный метод решения краевых задач.
Интерполяция граничных значений внутрь области.
Структура задачи Дирихле. Структура задачи Неймана.Библиографический список.