Корнеев С.А. Тензорное исчисление

Учебное пособие. — Омск: Омский государственный технический университет (ОмГТУ), 2007. — 176 с.Учебное пособие охватывает основные разделы тензорного исчисления, используемые в теории упругости, теории пластичности и ползучести, механике жидкости и газа, механике композиционных материалов, механике сплошной среды: алгебру тензоров, тензорный анализ, основы тензорного интегрального исчисления.
Предназначено для студентов и аспирантов высших учебных заведений, обучающихся по машиностроительным специальностям.ВведениеАксиоматика евклидовой геометрии Г. Вейля
Первая группа аксиом: аксиомы сложения векторов
Вторая группа аксиом: аксиомы умножения вектора на число
Третья группа аксиом: аксиомы скалярного умножения
Общие определения и теоремы
Частные модели векторных и евклидовых пространств
Четвёртая группа аксиом: аксиомы размерности
Пятая группа аксиом: свойства точек
Физическая реализация (модель) аксиоматики ВейляОсновные сведения из векторной и линейной алгебры
Векторное, смешанное и двойное векторное произведения векторов
Примеры решения основных задач векторной алгебры
Операции с матрицами
Представление вектора в декартовой системе координат
Представление вектора в криволинейной системе координат
Преобразование компонент вектора при замене системы координатТензорная алгебра
Определение и основные свойства тензоров второго ранга.
Определение операций над тензорами
Основные свойства операций над тензорами
Симметричные, кососимметричные и ортогональные тензоры
Разложение тензоров по диадному базису
Ковариантные, контравариантные и смешанные компоненты тензора
Действия с компонентами
Фундаментальный метрический тензор
Преобразование компонент тензора при замене системы координат
Физические компоненты вектора и тензора
Правила расстановки индексов
Инварианты тензора
Собственные значения и собственные векторы симметричного тензора. Главные инварианты. Теорема Гамильтона-Кэли
Кососимметричный тензор
Ортогональный тензор
Общие сведения о тензорах высших рангов
Дискриминационный тензор, символы Леви-Чивиты
Полярное разложение тензора
Разложение тензора на шаровой тензор и девиаторТензорные функции и их производные
Линейные тензорные функции
Производная скалярной функции по векторному аргументу
Производная скалярной функции по произвольному тензорному аргументу
Производная скалярной функции по симметричному и кососимметричному тензорному аргументу
Производная скалярной функции по ортогональному тензорному аргументу
Производная тензорной функции по тензорному аргументу
Формула Нансона и формула ЭйлераТензорный анализ
Градиент тензора
Символы Кристоффеля
Преобразование Гаусса-Остроградского. Дивергенция и ротор тензора
Преобразование Стокса
Примеры получения формул тензорного анализа
Ортогональные криволинейные координатыКонтрольные вопросы и упражнения
Векторная и линейная алгебра
Тензорная алгебра
Тензорный анализ, тензорные функции и их производныеБиблиографический список