Ксендзенко Л.С., Бойко Л.А. Векторный анализ

Учебное пособие для вузов. — Владивосток: Дальневосточный федеральный университет, 2022. — 116 с. — ISBN 978-5-7444-5392-3.В учебном пособии излагаются краткие теоретические сведения из утвержденной для вузов программы дисциплины «Векторный анализ», которая изучается с учетом базового раздела дисциплины «Высшая математика». Раскрываются вопросы, связанные с кратными, криволинейными и поверхностными интегралами. Рассматриваются скалярные, векторные поля, их характеристики и всевозможные приложения. Приводится большое количество примеров с решениями задач, предлагаются задания для самостоятельной работы.
Учебное пособие предназначено для студентов инженерных специальностей вузов очной и заочной форм обучения.Предисловие.
Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы.
Кратные интегралы.
Двойные интегралы.
Задача, приводящая к понятию двойного интеграла — задача об объеме цилиндрического тела.
Определение двойного интеграла.
Теорема существования двойного интеграла.
Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах.
Вычисление двойного интеграла в полярных координатах.
Применение двойного интеграла.
Тройные интегралы.
Задача, приводящая к понятию тройного интеграла — задача о массе неоднородного тела.
Определение тройного интеграла.
Теорема существования тройного интеграла.
Применение тройных интегралов.
Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах.
Вычисление тройного интеграла в цилиндрических координатах.
Сферические координаты. Вычисление тройного интеграла в сферических координатах.
Криволинейные интегралы.
Криволинейный интеграл I рода (по длине дуги).
Задача, приводящая к понятию криволинейного интеграла I рода — задача о массе материальной кривой.
Определение криволинейного интеграла по длине дуги.
Вычисление криволинейного интеграла по длине дуги.
Применение криволинейного интеграла по длине дуги.
Криволинейный интеграл II рода (по координатам).
Определение криволинейного интеграла по координатам.
Свойства криволинейного интеграла по координатам.
Вычисление криволинейных интегралов по координатам.
Условия независимости криволинейного интеграла по координатам от формы пути интегрирования.
Формула Грина.
Поверхностные интегралы.
Поверхностные интегралы I рода (по площади поверхности).
Задача, приводящая к понятию поверхностного интеграла — вычисление массы поверхности с неравномерной плотностью.
Задача о нахождении статического электричества, распределенного по поверхности.
Определение поверхностного интеграла по площади поверхности.
Вычисление поверхностного интеграла по площади поверхности.
Применение поверхностных интегралов.
Поверхностные интегралы II рода (по координатам).
Двусторонние ориентированные поверхности.
Определение поверхностного интеграла по координатам.
Теорема существования поверхностного интеграла по координатам.
Вычисление поверхностного интеграла по координатам.
Формула Остроградского–Гаусса.
Формула Стокса.
Теория поля.
Векторное поле.
Определение векторного поля.
Примеры векторных полей.
Векторные линии и их уравнения.
Поток векторного поля.
Дивергенция векторного поля.
Векторная трубка.
Оператор Гамильтона, или вектор набла.
Циркуляция векторного поля.
Ротор векторного поля.
Формула Стокса.
Движение заряженных частиц в электрическом и магнитном полях.
Потенциальное (безвихревое) поле. Потенциал векторного поля.
Задания по теме «Векторное поле».
Понятие потенциального поля сил в механике и электричестве.
Задачи для самостоятельнго анализа на работу и мощность силы.
Скалярное поле.
Определение скалярного поля. Поверхности уровня. Производная по направлению.
Градиент скалярного поля.
Операторы Гамильтона и Лапласа. Гармонические поля.
Задания по теме «Скалярное поле».
Векторные дифференциальные операции I и II порядков.
Основные классы векторных полей.
Вопросы для самопроверки.
Список рекомендуемой литературы.