Долгих Т.Ф., Ширяева Е.В. Проекционно-разностные методы

Учебное пособие. — Ростов-на-Дону: Южный федеральный университет, 2017. — 79 с.В пособии приведены необходимые сведения о проекционных методах, достаточные для их численной реализации. Изложение материала даётся на простых примерах, позволяющих получить ясное представление о методах, среди которых классический метод Ритца, метод Бубнова–Галеркина, метод Петрова–Галеркина, метод наименьших квадратов и метод конечных элементов (МКЭ), последнему в пособии уделяется наибольшее внимание — указаны способы выбора базисных функций, позволяющих упростить решение систем линейных уравнений, возникающих при реализации метода.
Наряду с проекционными методами рассмотрены и конечно-разностные методы, совпадающие с проекционно-разностными схемами. Коротко описан пакет FreeFem++, позволяющий эффективно решать пространственно двухмерные стационарные краевые задачи.
Учебное пособие для направлений подготовки «Математика», «Прикладная математика и информатика», «Механика и математическое моделирование», «Фундаментальная информатика и информационные технологии»). Рекомендуется студентам естественных факультетов университета.Проекционные методы.
Варианты проекционных методов.
Пример. Метод Бубнова–Галеркина.
Классический метод Ритца.
Метод наименьших квадратов.
Индивидуальное задание.
Введение в метод конечных элементов.
Вариационная формулировка задачи.
Численная реализация.
Метод конечных элементов. Пример.
Построение приближенного слабого решения задачи.
Построение приближенного сильного решения задачи. Метод Галеркина.
Конечно-разностный метод.
Индивидуальное задание.
Выбор базисных функций.
Краевые условия и сохранение свойств исходной задачи.
Финитные базисные функции.
Вычисление элементов матрицы A_ik и вектора b_i.
Естественные и главные краевые условия.
Кубические конечные элементы.
Пример.
Метод конечных элементов в двумерном случае.
Задача Дирихле для уравнения Лапласа. Слабое решение.
Построение приближенного решения.
Конечно-разностные методы в двумерном случае.
Индивидуальное задание.
Использование пакета FreeFem++ для решения задач.
Задача о стационарном распределении температуры.
Постановка задачи.
Слабая формулировка задачи.
Слабая формулировка задачи на языке FreeFem++.
Задание области.
Полный код программы.
Задача о распределении температуры в областях сложной формы.
Решение задачи для круга.
Распределение температуры в четырехугольнике.
Решение задачи в криволинейной области.
Решение задачи в области с отверстием.
Решение задачи с переменной теплопроводностью.
Индивидуальное задание.
Литература.
Предметный указатель.
Об авторах.
Интерфейс пользователя.