Кобрин К.В., Лерер А.М. Численные методы и методы математической физики

Учебное пособие. — Отв. ред. М.Б. Мануилов. — Ростов-на-Дону; Таганрог: Южный федеральный университет, 2023. — 154 с. — ISBN 978-5-9275-4480-6.В пособии излагаются основные главы по численным методам, включённые в учебную программу физического факультета ЮФУ. В основу пособия положен материал лекций по вычислительным методам, читаемый авторами студентам направления радиофизики физического факультета ЮФУ.
Пособие служит введением в численный анализ и предназначено для студентов младших курсов физического факультета.
Публикуется в авторской редакции.Предисловие.
Введение в численные методы.
Арифметические операции и базовые понятия.
Погрешность.
Вычисление значения полиномов.
Вычисление трансцендентных функций.
Вычисление функций заданных рядом Тейлора.
Вычисление функций через полиномиальные разложения.
Полиномы Чебышева.
Рациональное приближение функций.
Решение нелинейных уравнений.
Классификация уравнений.
Локализация корней.
Шаговый метод локализации корней.
Отделение корней от разрывов.
Уточнение корней.
Метод половинного деления (бисекции, дихотомии).
Метод хорд.
Метод Ньютона (метод касательных).
Сходимость метода Ньютона.
Выбор начального приближения.
Метод секущих.
Метод простых итераций.
Преобразование уравнения к итерационному виду.
Метод наименьших квадратов.
Линейный МНК.
Псевдорешение СЛАУ.
Интерполяция.
Алгебраическая интерполяция.
Интерполяционный полином Лагранжа.
Интерполяционный полином Ньютона.
Влияние расположения узлов на погрешность интерполяции.
Интерполяция сплайнами.
Экстремальное свойство кубических сплайнов.
Численное дифференцирование.
Интерполяционный подход.
Метод неопределённых коэффициентов.
Оценка погрешности ЧД.
Полная погрешность ЧД.
Ортогональные полиномы.
Некоторые примеры ортогональных многочленов.
Многочлены Якоби.
Многочлены Лежандра.
Многочлены Чебышева I-го рода.
Многочлены Чебышева II-го рода.
Многочлены Эрмита.
Многочлены Лагерра.
Некоторые общие свойства ортогональных многочленов.
Численное интегрирование.
Примеры применения формул Ньютона-Котеса.
Составные квадратурные формулы Ньютона-Котеса.
Метод оценки погрешности Рунге.
Квадратуры Гаусса.
Построение узлов формулы Гаусса.
Определение коэффициентов в квадратурах Гаусса.
Интегрирование быстро-осциллирующих функций.
Вычисление несобственных интегралов.
Вычисление интегралов на [a,+∞).
Интегралы в смысле главного значения.
Системы линейных алгебраических уравнений.
Устойчивость решения СЛАУ.
Нормы векторов и матриц.
Норма вектора.
Матричная норма.
Обусловленность матрицы.
Точные методы решения СЛАУ.
Метод Гаусса или метод исключения переменных.
Метод с выбором главных элементов.
Инвертирование матрицы.
Метод LU-разложения.
Разложение Холецкого (метод квадратного корня).
Метод прогонки.
Итерационные методы решения СЛАУ.
Метод простой итерации (метод Якоби).
Структура библиотек подпрограмм линейной алгебры.
Методы оптимизации.
Поиск минимума функции одного переменного.
Метод золотого сечения.
Метод парабол.
Минимизация функции многих переменных.
Типы методов оптимизации.
Метод покоординатного спуска.
Градиентные методы. Метод наискорейшего спуска.
Метод Ньютона.
Нелинейный МНК. Метод Гаусса-Ньютона.
Метод прямого поиска по образцу.
Решение обыкновенных дифференциальных уравнений.
Методы основанные на Тейлоровском разложении.
Метод Коши.
Методы Рунге-Кутты (Р-К).
Явный метод Рунге-Кутты 4-го порядка.
Общий класс методов Рунге-Кутты.
Многошаговые методы.
Неявные методы Адамса.
Общий класс многошаговых методов.
Устойчивость многошаговых методов.
Понятие "жёсткости" системы ДУ.
Численные методы решения краевых задач.
Решение краевой задачи для линейного уравнения.
Решения краевой задачи для нелинейного уравнения.
Решение краевых задач методом Галеркина.
Литература.