Берже М. Геометрия. Том 1

Пер. с фр.: Ю.Н. Сударев, А.В. Пажитнов, С.В. Чмутов. Под ред. И.Х. Сабитова. — М.: Мир, 1984. — 560 с., илл.Из предисловия редактора перевода:
Гильберт сравнивал геометрию с прекрасным садом, в котором каждый может подобрать себе цветок по вкусу.Ныне сад геометрии разросся настолько,что даже специалистам стало трудно ориентироваться в его зарослях. Эта книга поможет составить более ясное представление о том, куда ведут и где сходятся сегодня многочисленные тропинки, берущие начало усамого входа в сад – в элементарной и аналитической геометрии.
Особенно полезной книга будет тем, кто уже занимается или начал заниматься возделыванием своего участка геометрии – они почерпнут из нее целостный взгляд практически на всю ту классическую геометрию, в которой можно работать без дифференциального исчисления.Книга известного французского математика охватывает широкий круг вопросов классической геометрии в современном изложении. В ней удачно сочетаются общие абстрактные идеи и многочисленные примеры конкретных приложений. Издание богато иллюстрировано.
Для математиков различных специальностей, а также для читателей, интересующихся геометрией и желающих углубиться в изучение предмета.Автор этой книги, Марсель Берже, профессор Парижского университета VII, принадлежит к числу весьма видных французских математиков. Советским геометрам он давно известен по результатам его исследований в области геометрии римановых пространств. В данном случае речь идет о книге, которая рассчитана на широкие круги читателей. Для чтения книги каких-либо специальных знаний не требуется, однако нужен интерес к математике и готовность углубиться в материал.К pyccкoмy изданию
Предисловие редактора перевода
ПредисловиеДействие групп, аффинные и проективные пространства
Общие понятия и обозначения
Множества
Алгебра
Метрические пространства
Общая топология
Гиперболическая тригонометрия
Мера Лебега, теория интегрирования
Группы, действующие на множестве: терминология, примеры, приложения
Определение
Примеры
Эффективность
Транзитивность
Стабилизаторы; однородные пространства
Орбиты, формула числа классов
Группы замощений
Замощения сферы S², правильные многогранники и конечные подгруппы группы O⁺ (3)
Упражнения
Аффинные пространства
Определения
Примеры. Аффинные реперы
Морфизмы аффинных пространств
Аффинные подпространства
Наконец кое-что из геометрии: Фалес, Папп, Дезарг
Основная теорема аффинной геометрии
Вещественные аффинные пространства конечной размерности
Упражнения
Универсальное пространство. Приложения
Универсальное пространство
Универсальное пространство и морфизмы
Полиномы на аффинном пространстве
Барицентры
Барицентры и морфизмы, барицентры и аффинные подпространства
Барицентрические координаты
Упражнения
Проективные пространства
Введение
Определение, примеры
Описание проективных пространств: карты
Описание проективных пространств: топология и алгебраическая топология
Проективные реперы
Морфизмы
Подпространства
Перспектива; аэрофотосъемка
Некоммутативный случай
Упражнения
Аффинно-проективные связи; приложения
Введение
Проективное пополнение аффинного пространства
Примеры
Связи между аффинными и проективными подпространствами; параллельность
Метод отправки объектов в бесконечность; приложения
Упражнения
Проективные прямые: двойное отношение, гомографии, инволюции
Определение двойного отношения
Вычисление двойного отношения
Эффект перестановки
Гармоническое отношение
Двойное отношение и двойственность; приложения
Гомографии проективной прямой
Инволюции
Упражнения
Комплексификация
Введение
Комплексификация вещественного векторного пространства
Функториальность операции .с, или комплексификация морфизмов
Комплексификация полиномов
Подпространства и комплексификация
Комплексификация проективного пространства
Комплексификация аффинного пространства
УпражненияЕвклидовы пространства, треугольники, окружности и сферы
Евклидовы векторные пространства: напоминания и дополнения
Определение и элементарные свойства евклидова пространства
Ортогональная группа: элементарные свойства и план изучения
Строение группы О (Е) при dim Е = 2
Канонический вид изометрии. Образующие групп О(Е) и O⁺ (Е)
Простота группы О (Е)
Углы между прямыми и лучами
Ориентированные углы на плоскости
Подобия; изотропный конус и изотропные прямые
Кватернионы. Применение к группам O⁺ (3) и O⁺ (4)
Группы O⁺ (n) и алгебраическая топология
Каноническая форма объема в ориентированном евклидовом пространстве. Смешанное произведение, векторное произведение
Упражнения
Евклидовы аффинные пространства
Определения. Изометрии. Перемещения
Ортогональные подпространства; расстояния
Структура изометрий. Образующие групп Is (Х) и Is⁺ (Х)
Структура изометрий плоскости и многоугольный бильярд
Подобия
Подобия на плоскости
Расстояния между многими точками
Стабилизаторы подмножеств
Длина кривой
Метрика и дифференциальная геометрия: формула первой вариации
Хаусдорфово расстояние между компактами
Каноническая мера в евклидовом аффинном пространстве. Объемы
Симметризация по Штейнеру
Упражнения
Треугольники, сферы и окружности
Треугольники: определения и обозначения
Классические результаты
Сводка формул
Неравенства и задачи на минимум
Многоугольники
Тетраэдры
Сферы
Инверсия
Окружности на плоскости
Пучки окружностей
Задачи об окружностях
Паратаксия: прелюдия к § 18.9, 20.5 и 20.7
УпражненияВыпуклые тела и полиэдры, правильные многогранники, площади и объемы
Выпуклые множества
Определение. Примеры
Выпуклость и общая топология. Размерность выпуклого множества
Топология выпуклых множеств
Выпуклые множества и гиперплоскости; теоремы о разделении
Опорные гиперплоскости; применения
Граница выпуклого множества, вершины, крайние точки
Теорема Хелли и ее приложения
Выпуклые функции
Упражнения
Многогранники, выпуклые компакты
Определения, примеры , иллюстрации
Объем многогранников
Площадь поверхности многогранника
Правильные многоугольники
Правильные многогранники: определение, примеры
Правильные многогранники: классификация
Формула Эйлера
Теорема Коши
Аппроксимация выпуклых компактов многогранниками
Площадь поверхности выпуклых компактов
Изопериметрическое неравенство
УпражненияФайл: отскан. стр. (b/w 300 dpi) + OCR