Гриб Н.В., Подоксёнов М.Н. Геометрические построения фигур и преобразования плоскости

Учебное пособие. – Витебск : Витебский государственный университет имени П.М. Машерова, 2024. – 111 с. — ISBN 978-985-30-0153-2.Настоящее учебное пособие предназначено прежде всего для студен-тов, получающих общее высшее образование по специальности 6-05-0113-04 Физико-математическое образование и изучающих учебную дисциплину «Геометрические построения фигур и преобразования плоскости», для преподавателей этой дисциплины, а также всех интересующихся геометрией.
С точки зрения профессиональной направленности раздел «Геометрические построения фигур и преобразования плоскости» занимает важное место в подготовке будущих преподавателей математики, так как он, пусть и в небольшом объёме, изучается в курсе математики средней школы. Геометрические преобразования играют особо существенную роль, ведь именно они положены в основу современной классификации различных отраслей геометрии. Например, группы движений и подобий определяют евклидову геометрию. С преобразованиями плоскости тесно связано изложение теории геометрических построений на плоскости циркулем и линейкой. Дело здесь в том, что метод преобразований – один из основных методов решения задач на построение.
Данное издание состоит из двух глав. В первой главе – «Преобразования плоскости» – изучаются основные преобразования плоскости: движения, подобия, аффинные преобразования, инверсия. Представлены свойства этих преобразований, их аналитическое выражение в аффинной или декартовой системе координат, классификация. В отдельном параграфе приводятся примеры решения задач, в том числе примеры применения преобразований плоскости к решению задач элементарной планиметрии, а также задач с практическим содержанием. В последнем параграфе со-держатся задачи для практических занятий и самостоятельного решения. Задачи повышенной сложности помечены звёздочкой.
Во второй главе – «Геометрические построения на плоскости» – изучаются основные методы решения задач на построение геометрических фигур на плоскости с помощью циркуля и линейки: метод геометрических мест (пересечений), метод движений, метод подобия, алгебраический метод, а также метод инверсии. Здесь же рассматривается критерий разрешимости задач на построение циркулем и линейкой и приводятся примеры неразрешимых задач. В завершение изучаются построения, которые можно выполнить одним циркулем или одной линейкой. Примеры решения задач не собраны в отдельный параграф, как в предыдущей части, а содержатся в каждом из параграфов, необходимость этого продиктована характером излагаемого материала. Задачи для практических занятий и самостоятельного решения приведены в последнем параграфе.
Некоторые излагаемые в издании темы выходят за рамки учебной программы по дисциплине «Геометрические построения фигур и преобразования плоскости» и рекомендуются для самостоятельного изучения студентами (например, метод инверсии).
Учебное пособие также содержит приложение, в котором кратко излагаются сведения из курсов алгебры и аналитической геометрии, которые важны для понимания теоретического материала. Отдельный параграф в приложении посвящён теоремам Дезарга и Паскаля, которые обычно доказываются в проективной геометрии. Эти теоремы позволяют обосновать некоторые интересные построения, которые можно выполнить одной линейкой.