Шлапунов А.А., Работин В.В., Садыков Т.М. Функциональный анализ. Операторные уравнения

Учебное пособие. — Красноярск: Сибирский федеральный университет, 2011. — 282 с.Посвящено основам современного функционального анализа. В пособии рассмотрены различные методы решения линейный и нелинейных операторных уравнений. Предназначено для студентов направлений подготовки бакалавров 010100.62 «Математика» и 010400.62 «Прикладная математика и информатика».Метрические пространства.
Введение.
Метрика.
Определение и примеры.
Операторные уравнения в метрических пространствах.
Сходимость.
Понятие предела.
Свойства предела.
Эквивалентные определения сходимости.
Открытые и замкнутые множества.
Замыкание.
Замкнутые множества.
Открытые множества.
Полные метрические пространства.
Понятие полноты.
Теорема о вложенных шарах.
Плотные подмножества. Теорема Бэра.
Пополнение пространства.
Принцип сжимающих отображений.
Теорема о сжимающем отображении.
Принцип сжимающих отображений в обыкновенных диф- ференциальных уравнениях.
Принцип сжимающих отображений в интегральных уравнениях.
Нормированные и евклидовы пространства.
Линейные пространства.
Нормированные пространства.
Норма.
Пополнение нормированного пространства.
Евклидовы пространства.
Скалярное произведение.
Ортогональные системы. Теорема об ортогонализации.
Коэффициенты Фурье и их свойства.
Подпространства, ортогональные дополнения.
Комплексные евклидовы пространства.
Функционалы.
Функционалы и компактность.
Функционалы: основные определения и примеры.
Компактные множества в метрическом пространстве. Непрерывные функционалы на компактах.
Компактность и полная ограниченность.
Компактные множества в C[a, b]. Теорема Арцела.
Свойства непрерывных линейных функционалов.
Непрерывные линейные функционалы.
Теорема Хана-Банаха.
Сопряженные пространства.
Сопряженное пространство.
Теорема об общем виде непрерывного линейного функционала на полном евклидовом пространстве.
Второе сопряженное пространство.
Слабая сходимость и ∗-слабая сходимость.
Обобщенные функции.
Определение обобщенной функции.
Производная и первообразная обобщенной функции.
Свертка обобщенных функций нескольких переменных.
Линейные операторы в пространствах Банаха.
Линейные операторы.
Линейные операторы: основные определения.
Пространство ограниченных линейных операторов.
Компактные операторы.
Принцип равномерной ограниченности.
Теорема Банаха-Штейнгауза.
Замкнутые операторы.
Операторные уравнения.
Сопряженный оператор.
Линейные задачи.
Обратный оператор.
Непрерывная обратимость.
Достаточные условия непрерывной обратимости.
Спектр оператора.
Понятие спектра. Резольвента.
Спектр компактного оператора.
Операторные уравнения второго рода в пространствах Гильберта.
Условия разрешимости операторных уравнений.
Сопряженный оператор. Случай евклидовых пространств.
Теоремы Фредгольма.
Линейные интегральные уравнения второго рода в пространствах Лебега.
Интеграл Лебега и пространства Лебега.
Операторы Гильберта-Шмидта в L2[a, b].
Уравнения с вырожденными ядрами.
Уравнения Вольтерра.
Спектральная теория самосопряженных операторов и операторные уравнения.
Самосопряженные компактные операторы.
Самосопряженные операторы.
Теорема Гильберта-Шмидта.
Операторные уравнения и базисы со свойством двойной ортогональности.
Задача об аналитическом продолжении в пространствах Соболева.
Операторные уравнения и теорема об итерациях компактных самосопряженных операторов.
Формулы для решений уравнений Фредгольма.
Самосопряженные ограниченные операторы.
Ортогональные проекторы.
Спектральная теория для ограниченных самосопряженных операторов.
Функции от самосопряженных операторов.
Операторные уравнения с непрерывным оператором.
Предметный указатель.
Список литературы.