Монтель П. Нормальные семейства аналитических функций

Монография. — Пер. с франц. В.М. Шепелева. — М.; Л.: ОНТИ, 1936. — 240 с.Книга принадлежат перу знаменитого французского математика П. Монтеля и представляют собой монографию по теории нормальных семейств, создателем которой является П. Монтель, и по приложениям этой теории к различным вопросам теории функций (конформное отображение, теорема Picard'a, сходящиеся последовательности аналитических функций, итерация рациональных дробей и пр.).
Книга рассчитана на научных работников, аспирантов и студентов старших курсов математических отделений университетов.Предисловие
Множества точек. Семейства функций. Множества точек области
Множество. Предельная точка.
Производное множество.
Внутренние и внешние точки. Границы. Области.
Непрерывные множества.
Кривые Жордана. Достижимые точки границы.
Множества точек в произвольном пространстве.
Множества точек в функциональном пространстве.
Семейства функций
Теорема Вейерштрасса.
Сгущение значений.
Функции, ограниченные в своей совокупности
Равностепенная непрерывность.
Существование предельных функций.
Случай открытой области.
Случай неаналитических функций.
Теорема Стилтьеса.
Теорема Витали.
Функции, допускающие исключительные области.
Определение нормального семейства.
Семейство нормальное в точке.
Нормальные и ограниченные семейства.
Число нулей функций нормального семейства.
Иррегулярные точки.
Семейство гармонических функций. Теорема Харнака.
Частные ограниченных функций.
Нормальное семейство функций N.
Голоморфные функции с исключительными значениями. Квази-нормальные семейства. Функции Шварца
Теорема Пэнлеве.
Метод симметрии.
Функции Шварца.
Замощение фундаментального круга.
Фундаментальные подстановки.
Построение функции Шварца.
Семейства голоморфных функций с исключительными значениями
Основной признак.
Обобщение.
Квази-нормальные семейства
Определение квазинормального семейства.
Иррегулярные точки.
Основной признак.
Случай, когда квазинормальное семейство будет нормальным.
Расширение признаков нормальности и квазинормальности.
Изучение однозначных функций в окрестности изолированной существенно особой точки
Первая теорема Пикара.
Обобщения.
Вторая теорема Пикара.
Обобщения.
Теорема Жюлиа.
Случай целых функций.
Теорема Шоттки (Schottky).
Теорема Ландау.
Обобщения.
Конформное отображение. Конформное отображение открытой области
Отображение внутренности области на круг.
Теорема Пуанкаре.
Теорема Каратеодори.
Соответствие границ
Достижимые точки границы.
Точки, достижимые единственным способом.
Множество достижимых точек.
Трансверсали области.
Прерывное приближение к точкам границы.
Простые концы.
Области, ограниченные кривой Жордана.
Теорема Фейера (Fejer).
Семейство мероморфных функций
Нормальное семейство.
Иррегулярные точки. Исключительные последовательности.
Равностепенная непрерывность на сфере Римана.
Число нулей функций нормального семейства.
Количественные свойства.
Функции с асимптотическими значениями.
Тождества Бореля (Borel)
Квазинормальные семейства
Определение. Свойства иррегулярных точек.
Порядок иррегулярной точки. Полный порядок.
Квазинормальные семейства функций, число нулей которых ограничено.
Случай, когда предельные функции конечны.
Частные квази-нормальные семейства
Семейства функций с квази-исключительными значениями
Распространение теоремы Шоттки.
Обобщения.
Распространение теоремы Ландау.
Частные случаи.
Исключительные мероморфные функции
Условия Островского.
Обратное предложение.
Общая теорема.
Последовательности аналитических функций последовательности голоморфных функций
Последовательности, сходящиеся на бесконечном множестве внутренних точек.
Теорема Бляшке.
Распространение на функции N.
Распространение на неограниченные функции.
Последовательности, сходящиеся на некоторой части границы.
Обобщения.
Теорема Адамара о трех кругах.
Быстрота сходимости. Распространения теоремы Стилтьеса.
Сходящиеся ряды голоморфных функций.
Теорема Ненча (Jentzsch).
Теорема Островского.
Последовательности мероморфных функций
Природа сходимости нормально или квази-нормальной последовательности.
Последовательности, которые сходятся на бесконечном множестве внутренних точек.
Сходящиеся последовательности мероморфных функций.
Множество иррегулярных точек.
Итерация рациональных функций
Неподвижные точки. Циклы.
Множитель. Область притяжения.
Ограниченность числа притягивающих циклов.
Связь между итерацией и функциональными уравнениями.
Ограниченность числа индиферентных циклов.
Неподвижные отталкивающие точки.
Примеры итерации.
Множество иррегулярных точек
Инвариантность множества g.
Структура множества g.
Однородность множества g.
Примеры множества g.
Распределение областей притяжения.
Семейства функций многих переменных нормальные семейства функций двух переменных
Нормальные семейства голоморфных функций.
Функции, ограниченные в своей совокупности.
Сгущение значений.
Функции, имеющие исключительные области.
Функции, имеющие два исключительных значения.
Нормальные последовательности, сходящиеся на бесконечном множестве точек.
Множество иррегулярных точек.
Структура множества (F).
Семейства униформизирующих функций
Теорема Пикара.
Случай алгебраического соотношения жанра единица.
Случай алгебраического соотношения жанра нуль.
Сложные семейства и приложения сложные нормальные семейства
Целые функции. Наибольшее число исключительных комбинаций.
Класс системы функций.
Треугольные таблицы комбинаций.
Определение сложного нормального семейства.
Признак нормальности для сложного семейства.
Специальные сложные семейства
Система трех голоморфных функций, никогда не равных.
Обобщения.
Случай, когда функции могут быть равными.
О некоторых нормальных семействах.
Системы из четырех мероморфных функций, никогда не равных.
Обобщения.
Алгеброидные функции, допускающие исключительные инволюции
Алгеброидные функции. Исключительная инволюция.
Класс алгеброидных функций.
Наибольшее число исключительных инволюций.
Порядок исключительного значения.
Нормальные семейства алгеброидных функций.
Случай неограниченных функций.
Признак нормальности семейства.
Распространение теоремы Шоттки.
Распространение теоремы Ландау.
Обобщения.
Алгеброидные функции, нецелые.