Шкіль М.І. Математичний аналіз у 2-х томах

Підручник у 2-х ч. — 3-тє видання, переробл. і доповн. — К.: Вища школа, 2005. — 447 с.: іл.Розглянуто такі поняття, як функція, границя і неперервність, а також диференціальне та інтегральне числення. Викладені математичні поняття пов'язано з фізикою, на конкретних прикладах показано застосування методу мат. аналізу під час розв'язування задач із фізики, механіки, математики. Вивчення наближених формул супроводжується структурними схемами відповідних алгоритмів.
Для студентів математичних спеціальностей внз.Том I.
Вступ до математичного аналізу.
Про предмет математики. Предмет і метод математичного аналізу.
Множина.
Множина дійсних чисел.
Властивості множини дійсних чисел.
Модуль дійсного числа.
Точкові множини.
Межі числових множин.
Деякі основні поняття логіки. Логічні символи.
Функція, границя і неперервність.
Функція. Область визначення і множина значень функцій.
Способи задання функції.
Елементарні функції та їх класифікація.
Обернена функція.
Окремі класи функції.
Границя числової послідовності.
Властивості збіжних числових послідовностей.
Нескінченно малі та нескінченно великі числові послідовності.
Основні теореми про границі.
Невизначені вирази.
Існування границі монотонної числової послідовності.
Число e.
Граничні точки. Теорема Больцано - Вейєрштрасса.
Критерій Коші.
Границя функції неперервного аргументу.
Властивості функції, яка має границю в точці.
Границя функції на нескінченності. Невласні границі.
Означення границі функції за допомогою границі числової послідовності.
Правостороння й лівостороння границі функції.
Нескінченно малі та нескінченно великі функції.
Порівняння нескінченно малих величин. Невизначені вирази.
Неперервність функції в точці.
Неперервність складеної функції.
Раціональні операції над неперервними функціями.
Одностороння неперервність. Точки розриву та класифікація їх.
Властивості неперервної функції, заданої на відрізку.
Теорема про існування і неперервність оберненої функції.
Обернені функції для деяких елементарних функцій.
Степінь з дійсним показником. Показникова функція.
Диференціальне числення функції однієї змінної.
Задачі, що приводять до поняття похідної.
Задача про миттєву швидкість.
Задача про густину неоднорідного стрижня.
Задача про величину сили змінного струму, який проходить по провіднику.
Задача про дотичну до кривої.
Похідна. Механічний і геометричний зміст похідної.
Похідні елементарних функцій. Похідна оберненої функції.
Похідна суми, добутку, частки. Похідна складеної функції.
Диференціал функції.
Параметричне задання функцій. Диференціювання параметрично заданих функцій.
Похідні вищих порядків.
Диференціали вищих порядків.
Теореми про середнє значення диференціального числення.
Формула Тейлора.
Зростання, спадання функції. Екстремальні точки.
Локальний екстремум функції.
Знаходження найбільшого і найменшого значень функцій.
Опуклість і вгнутість кривих. Точки перегину.
Асимптоти кривих.
Правила Лопіталя.
Загальна схема дослідження функції та побудова її графіка.
Наближені методи розв'язування рівнянь.
Невизначений інтеграл.
Первісна функція і невизначений інтеграл.
Властивості невизначеного інтеграла. Таблиця основних інтегралів.
Метод підстановки.
Інтегрування частинами.
Інтегрування раціональних функцій.
Інтегрування деяких простіших ірраціональних функцій.
Інтеграл від біномного диференціала.
Підстановки Ейлера.
Інтегрування тригонометричних функцій.
Визначений інтеграл.
Задачі, що приводять до поняття визначеного інтеграла.
Визначений інтеграл. Критерій інтегровності. Класи інтегровних функцій.
Властивості визначеного інтеграла.
Теореми про середнє значення визначеного інтеграла.
Похідна визначеного інтеграла за верхньою змінною межею. Формула Ньютона - Лейбница.
Заміна змінної у визначеному інтегралі. Формула інтегрування частинами.
Невласні інтеграли.
Наближене обчислення визначених інтегралів.
Застосування визначеного інтеграла до обчислення площ плоских областей.
Довжина дуги плоскої кривої.
Диференціал довжини дуги. Кривина кривої.
Об'єм тіла обертання. Площа поверхні обертання.
Визначення статичних моментів і координат центра маси. Теореми Гульдіна.
Обчислення роботи та сили тиску.
Список рекомендованої літератури.
Предметний покажчик.Том II.
Ряди.
Поняття про числовий ряд и його суму.
Необхідна умова збіжності ряду. Залишок ряду. Дії над рядами.
Додатні ряди. Ознаки збіжності.
Знакозмінні ряди.
Абсолютно та умовно збіжні ряди. Властивості збіжних рядів.
Функціональні ряди. Рівномірна збіжність.
Властивості суми рівномірно збіжного ряду.
Степеневі ряди. Теорема Абеля. Радіус та інтервал збіжності степеневого ряду.
Властивості суми степеневого ряду.
Ряд Тейлора.
Розвинення елементарних функцій у ряд Тейлора.
Застосування степеневих рядів до наближених обчислень.
Ортогональна система функцій. Ряд Фур'є.
Збіжність ряду Фур'є для кусково-диференційовної функції.
Середнє квадратичне відхилення. Мінімальна властивість багаточлена Фур'є.
Збіжність ряду Фур'є в середньому. Нерівність Бесселя. Рівність Парсеваля.
Узагальнений ряд Фур'є.
Диференціальне числення функцій кількох змінних.
Функція двох змінних.
n-вимірний простір. Нерівність трикутника.
Основні типи множин евклідового простору.
Функція n змінних. Границя. Неперервність.
Частинні похідні та їхній геометричний зміст.
Диференційовність функції кількох змінних.
Диференціал функції кількох змінних.
Скалярне поле. Поверхні рівня. Циліндричні й сферичні координати.
Частинні похідні й диференціал складеної функції.
Вектор-функція скалярного аргументу, її диференціювання.
Дотична площина і нормаль до поверхні. Геометричний зміст диференціала функції двох змінних.
Похідна за напрямком. Градієнт. Оператор набла.
Частинні похідні й диференціали вищих порядків.
Формула Тейлора для функції двох змінних.
Неявні функції. Теореми про існування неявних функцій.
Екстремум функцій кількох змінних. Найбільше і найменше значення функції.
Умовний екстремум.
Інтегральне числення функцій кількох змінних.
Криволінійний інтеграл першого роду.
Задача про обчислення роботи змінної сили вздовж криволінійного шляху. Криволінійний інтеграл другого роду.
Векторне поле, дивергенція, ротор, циркуляція.
Задачі, що приводять до поняття подвійного інтеграла. Подвійний інтеграл.
Обчислення подвійного інтеграла.
Заміна змінних у подвійному інтегралі. Випадок полярних координат.
Невласні подвійні інтеграли.
Формула Гріна.
Незалежність криволінійного інтеграла від шляху інтегрування. Умови повного диференціала.
Застосування подвійного інтеграла до розв'язування задач з геометрії.
Застосування подвійного інтеграла до розв'язування задач із фізики.
Поверхневий інтеграл першого роду.
Поверхневий інтеграл другого роду.
Потрійний інтеграл.
Обчислення потрійного інтеграла.
Заміна змінних у потрійному інтегралі.
Застосування потрійних інтегралів до розв'язування задач з механіки і фізики.
Формула Остроградського - Гаусса. Інваріантне означення дивергенції.
Формула Стокса. Інваріантне означення ротора.
Елементи теорії функцій комплексної змінної.
Комплексні числа та дії над ними.
Функція комплексної змінної. Границя. Неперервність.
Похідна. Умови Коші - Рімана.
Конформне відображення.
Інтеграл функції комплексної змінної.
Інтегральна теорема Коші. Формула Коші.
Нескінченні ряди з комплексними членами.
Елементарні функції комплексної змінної.
Розвинення регулярної функції в степеневий ряд. Ряд Тейлора. Ряд Лорана.
Ізольовані особливі точки.
Залишок функції. Обчислення інтегралів за допомогою контурного інтегрування в комплексній області.
Звичайні диференціальні рівняння.
Задачі, що приводять до поняття диференціальних рівнянь. Розв'язки диференціальних рівнянь.
Диференціальні рівняння першого порядку. Задача Коші. Теорема про існування та єдиність розв'язку.
Поле напрямків. Ізокліни. Ламані Ейлера.
Диференціальні рівняння з відокремлюваними змінними.
Однорідні диференціальні рівняння.
Лінійні диференціальні рівняння першого порядку.
Рівняння в повних диференціалах. Інтегрувальний множник.
Диференціальні рівняння першого порядку, не розв'язані відносно похідної. Основні поняття й означення. Теорема про існування та єдиність.
Найпростіші типи диференціальних рівнянь, не розв'язаних відносно похідної. Рівняння Лагранжа і Клеро.
Особливі розв'язки. Обвідна сім'ї кривих.
Диференціальні рівняння вищих порядків. Основні означення й поняття.
Окремі класи диференціальних рівнянь, що інтегруються в квадратурах або допускають зниження порядку.
Однорідні лінійні диференціальні рівняння другого порядку зі сталими коефіцієнтами.
Неоднорідні диференціальні рівняння другого порядку зі сталими коефіцієнтами.
Вільні та вимушені гармонічні коливання.
Лінійні диференціальні рівняння вищих порядків зі сталими коефіцієнтами.
Список рекомендованої літератури.
Предметний покажчик.